Контрольная работа № 2

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1547

В контрольную работу № 2 включены задачи на построение линий и областей на плоскости. Линии и границы областей задаются в декартовых и полярных координатах.

1. При построении области решений системы неравенств в задачах № 1–30 необходимо знать уравнения прямых на плоскости [6, гл. 3, п. 1] и кривых второго порядка [6, гл. 3, п. 2, табл. 1].

Построение областей следует начинать с построения ограничивающих их линий. Например, область решения системы неравенств ограничена линиями:

(кривая второго порядка) и (прямая линия).

Для построения кривой 2-го порядка ее необходимо привести к каноническому виду (табл. 2). Сгруппируем члены, содержащие только и только , и дополним их до полных квадратов:

,

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

,

.

Это каноническое уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями

Построим эту кривую и найдем ту область, которая удовлетворяет первому неравенству. Гипербола разбивает плоскость на две части: одна часть лежит между ветвями гиперболы, а другая часть – внутри ветвей. Возьмем произвольную точку плоскости, не лежащую на линии, например точку и подставим ее координаты в неравенство. Получаем . Неверно. Следовательно, точка и все точки той части плоскости, что лежит между ветвями гиперболы, неравенству не удовлетворяют. Таким образом, неравенству удовлетворяют точки, лежащие внутри ветвей гиперболы и сами ветви. Заштрихуем область решения 1-го неравенства вертикальными линиями (рис. 4а).

Таблица 2

Диагностическая таблица определения вида и параметров кривых второго порядка

Вид кривой	Канонические уравнения	Параметры кривой	Изображение кривой
С центром (вершиной) в начале координат	С центром (вершиной) в точке
Окружность			R – радиус, и – координаты центра	R   y0   y   x0 x
Эллипс			и – координаты центра, – большая полуось, – малая полуось (если ) и наоборот (если )	y     x x0

Продолжение таблицы 2

Гипербола с действительной осью или ей параллельной			и – координаты центра, – действительная полуось, – мнимая полуось
Гипербола с действительной осью или ей параллельной			и – координаты центра – действительная полуось, – мнимая полуось
Парабола с осью симметрии или ей параллельной			и – координаты вершины, – параметр параболы
Парабола с осью симметрии или ей параллельной			и – координаты вершины – параметр параболы

Переходим ко второму неравенству. Граница области – прямая линия. Ее можно построить по двум точкам Чтобы определить область решения неравенства , возьмем произвольную точку, например, и подставим ее координаты в неравенство. Получим .

Рис. 4

Верно. Следовательно, точка и все точки, лежащие по ту же сторону от прямой, удовлетворяют неравенству. Заштрихуем эту область горизонтальными линиями (рис. 4б). Так как точки, лежащие на прямой не удовлетворяют неравенству, проводим прямую пунктирной линией.

Решением системы является общая часть (пересечение) областей решений каждого неравенства, то есть область с двойной штриховкой (рис. 4в).

2. Для решения задач № 31–60 необходимо воспользоваться свойствами элементарных функций [2, с. 26–29; 8, с. 22–26; 6, с. 153–154].

Графики указанных в заданиях функций можно получить путем деформации и сдвигов, отображением относительно осей координат, графическим сложением графиков основных элементарных функций. По виду заданной функции определяем группу преобразований. Для этого удобно воспользоваться табл. 3.

Таблица 3