Извлечение корней из комплексных чисел

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1620

z = r (cosj + isinj), где r > 0, j Î [0;2p] называется тригонометрической формой комплексного числа.

Известно, что любое комплексное число, отличное от 0, имеет единственную тригонометрическую форму. Нуль тригонометрической формы не имеет.

Если z = r (cosj + isinj), где r > 0 и j Î [0;2p], то r = | z |, j = arg z. Легко представить в тригонометрической форме комплексные числа a, bi. Именно:

если a > 0, то a = a(cos0 + isin0); если a < 0, то a = (-a)(cosp + isinp);

если b> 0, то bi = b(cos + isin ); если b < 0, то bi = (-b)(cos + isin ).

Этот вывод полезно иллюстрировать следующими рисунками:

Как видим, в этих случаях не требуется никаких вычислений. Пусть теперь a ¹ 0, b ¹ 0. Обозначим

Если a > 0, b > 0, то z = | z|(cosq + isinq); если a < 0, b > 0, то z = | z|(cos(p - q) + isin(p - q));

если a < 0, b < 0, то z = | z|(cos(p + q) + isin(p + q)); если a > 0, b < 0, то z = | z|(cos(2p - q) + isin(2p - q)).

Снова обратимся к иллюстрациям:

Если z₁, z₂ представлены в тригонометрической форме, то

, .

Формула Муавра:

Комплексное число w, удовлетворяющее условию , называется корнем n-ой степени из числа z.

Если z ¹ 0 и n Î N, n > 1, то (где - арифметический корень n-ой степени, j - аргумент комплексного числа z) все корни n-ой степени из числа z.

В частности, .

Извлечь из комплексного числа квадратный корень можно, не представляя данное число в тригонометрической форме. Формулы, по которым вычисляются эти корни, трудны для запоминания, поэтому лучше понять метод вычисления корней.

Пусть z = a + bi и w - его квадратный корень, w = x + iy. Тогда w ² = x² – y² + 2xyi = z.

Отсюда Решив эту систему мы найдем оба квадратных корня из числа z.