Общий алгоритм статического расчета МКЭ

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 2431

В принципе общий алгоритм расчета МКЭ сводится к последовательности шагов (матричных операций), в результате выполнения которых определяются необходимые параметры решения задачи (перемещения, деформации, напряжения). На практике расчеты по МКЭ всегда выполняются с применением компьютерных технологий, реализующих известные матричные формулы и выражения для получения промежуточных и конечных результатов.

1.Дискретизация конструкции. Рассматриваемая область представляется в виде совокупности конечных элементов, соединенных между собой в узловых точках.Таким образом, первый этап заключается в составлении конечно-элементной схемы – дискретной модели конструкции. Здесь можно выделить следующие действия:а) выбор типа КЭ (по геометрии, виду аппроксимации и т. п.); б) разбивку области на КЭ (с нумерацией узлов и элементов); в) описание каждого элемента: топологические (номера узлов в сетке), физико-механические (модуль упругости и т. п.), геометрические характеристики; г) описание каждого узла (координаты в общей системе координат); д) описание заданных узловых нагрузок и перемещений. 2. Построение глобальных матрицы жесткости и вектора узловых сил. Процедура основана на формировании МЖ и ВН отдельных элементов и их размещении в глобальных МЖ и ВН путем обхода по всем конечным элементам дискретной модели. Размещение элементных МЖ (ВН) в глобальной МЖ (ВН) может быть выполнено одним из следующих способов:1) непосредственного сложения жесткостей; 2) конгруэнтного преобразования; 3) при помощи конечно-разностных операторов.

3. Учет заданных граничных условий. Пусть в результате выполнения второго этапа система разрешающих уравнений имеет вид K q = P где глобальная матрица жесткости K содержит коэффициенты kij; вектор узловых перемещений q – компоненты перемещений qi; вектор узловой нагрузки P – узловые силы pi. Статические граничные условия учитываются при формировании вектора нагрузки P. Проблема решается просто, если внешние нагрузки заданы непосредственно в узловых точках. Распределенные же нагрузки заменяются эквивалентными обобщенными узловыми силами Pузл, при этом с целью уменьшения погрешности расчета часто приходится разбивать конструкцию на более мелкие элементы. Эти узловые силы добавляются к тем, что получены при формировании (на 2-м этапе) вектора P из элементных нагрузок .Кинематические граничные условия, как правило, представляются в виде заданных узловых перемещений (равных и не равных нулю). Нулевые перемещения соответствуют абсолютно жестким опорным связям, наложенным на некоторые узлы дискретной модели конструкции. Отличные от нуля заданные перемещения могут быть обусловлены неточностью изготовления (монтажа), регулированием усилий, смещением (осадкой) опор и т. п. Учет распределенного упругого основания будет более точным, если при его дискретизации использовать вариационные принципы (например, принцип Лагранжа). При таком подходе для каждого конечного элемента, подобно МЖ, строится так называемая матрица реакций основания. Последняя добавляется к МЖ элемента, и далее расчет производится в обычном порядке. Последовательность действий при учете заданных граничных условий: а) замена произвольной внешней нагрузки на эквивалентные узловые силы и добавление их в глобальный ВН; б) дополнение МЖ при учете заданного упругого основания; в) корректировка глобальной системы уравнений (МЖ и ВН) при учете заданных ненулевых смещений узлов; г) преобразование глобальной системы уравнений при учете жестких опорных связей (нулевых перемещений). В результате учета граничных условий глобальная система разрешающих уравнений будет сформирована в окончательном и в то же время достаточном для получения искомого решения виде. 4. Решение системы разрешающих уравнений. Окончательная система разрешающих уравнений МКЭ для статической задачи представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с симметричной, положительно определенной матрицей коэффициентов, как правило, ленточной структуры. Прежде всего следует выбрать метод решения СЛАУ. Для небольших и средних задач – от несколько десятков до несколько десятков тысяч неизвестных – обычно используются известные прямые методы: Гаусса, разложения Холесского, LDLT–факторизации и т. п. Для более сложных систем, требующих огромного объема вычислений и значительной памяти, приходится искать и, если необходимо, создавать специально подходящие для данной задачи эффективные алгоритмы, основанные как на прямых, так и на итерационных методах. Помимо перечисленных, для решения систем разрешающих уравнений МКЭ эффективны такие прямые методы, как метод быстрого преобразования Фурье, методы Гивенса, Хаусхолдера, блочного разложения. В ряде случаев целесообразно применять методы, учитывающие разреженность матриц, а также плохую обусловленность систем уравнений. Касаясь итерационных методов, отметим следующее. Можно применять и комбинированные подходы. Так, точность решения, полученного прямым методом, может быть значительно улучшена с помощью дополнительных вычислений, называемых итерационным уточнением. Отметим некоторые особенности, присущие системе разрешающих уравнений МКЭ. Эти особенности могут значительно влиять на точность получаемого решения, объем вычислений и режим работы вычислительной техники. Во-первых, при рациональной нумерации узлов матрица коэффициентов СЛАУ имеет ленточную структуру. Это означает, что ненулевые коэффициенты матрицы содержатся только в пределах некоторой полосы – ленты, занимающей диагональное положение в матрице. Внутри ленты могут находиться и нулевые коэффициенты. Важным моментом является то, что область нулевых элементов матрицы, расположенная выше и ниже ленты, остается нулевой и в процессе решения системы уравнений. Очевидно, что с уменьшением ширины ленты уменьшается и объем производимых вычислений. Во-вторых, при решении больших СЛАУ (свыше тысячи уравнений) важным фактором является значительное накопление ошибок округления, возникающих в процессе огромного количества арифметических операций. Основная доля задач в строительстве (исключение составляют крупные сооружения, сложные и ответственные в инженерном плане конструкции и т. п.) относится к задачам средней технической сложности, для которых, как уже было сказано выше, используются прямые методы решения систем уравнений. К тому же при практических расчетах часто бывает необходимо учитывать различные виды нагрузок, к примеру, собственный вес, временную нагрузку от кранового и другого оборудования, снеговую и ветровую нагрузки и т. д. Решение системы уравнений по каждому видузагружения также удобнее всего выполнять с помощью прямых методов. Такое утверждение основывается на том, что любой из прямых методов можно представить в виде двух независимых процедур: а) приведения матрицы коэффициентов СЛАУ к треугольному виду посредством последовательных исключений или же факторизацией (разложением исходной матрицы на несколько треугольных); б) решения систем с треугольными матрицами коэффициентов для каждого вектора нагрузки – вида загружения. 5. Определение внутренних усилий (напряжений). Результатом решения системы разрешающих уравнений МКЭ в форме метода перемещений будут компоненты узловых перемещений дискретной модели конструкции. Понятие о суперэлементном подходе Сложная структура современных инженерных сооружений: многоэтажных высотных зданий, производственных объектов и т. д., с одной стороны, и стремление к использованию все более точных дискретных схем, с другой стороны, приводят к системам разрешающих уравнений очень большого порядка. Несмотря на то, что современные вычислительные средства и имеющиеся алгоритмы позволяют решать такие системы, возникают определенные трудности с хранением глобальной матрицы жесткости, с точностью решения из-за накопления ошибок округления при огромном числе арифметических операций, с большими затратами «ручного» труда при подготовке исходной информации для расчета и значительными затратами машинного времени. Разделение системы разрешающих уравнений МКЭ на несколько систем меньшего порядка может быть выполнено уже на этапе построения конечно-элементной модели. Это достигается с помощью введения в дискретную модель конструкции так называемых суперэлементов (СЭ). СЭ – это укрупненный элемент, включающий в себя некоторую группу обычных (базисных) конечных элементов. Суперэлементы обычно повторяют форму и размеры естественных частей реальных конструкций и сооружений: этажи и фрагменты зданий, блоки корпусов, различные конструктивные части сооружений. В основе объединения базисных элементов в СЭ лежит процедура конденсации, применяемая здесь для исключения неизвестных во внутренних узлах суперэлемента.

9.4. Применение МКЭ при расчете стержневых систем В МКЭ стержневая система мысленно разбивается на отдельные части - конечные элементы, соединяющиеся между собой в узлах (рис.9.10). Узлы могут быть жесткими и шарнирными. Совокупность соединенных между собой и прикрепленных к основанию конечных элементов образует расчетную схему метода, называемую конечно-элементной схемой или конечно-элементной моделью или просто системой элементов. Элементы и узлы конечно-элементной схемы нумеруются. Внешняя нагрузка считается приложенной только в узлах конечно-элементной схемы. В общем случае переход от заданной нагрузки к узловой осуществляется следующим образом. На основании принципа суперпозиций рассматриваемое состояние стержневой системы может быть представлено как сумма двух состояний (рис.9.11). В первом состоянии (задача 1) вводятся связи, препятствующие всем возможным смещениям узлов системы, аналогично тому, как образуется основная система в методе перемещений. При этом, однако, продольными деформациями стержней не пренебрегают. От действия заданных нагрузок во введенных связях возникают реакции. Во втором состоянии (задача 2) узлы конечно-элементной схемы не закреплены от смещений, но к ним прикладываются усилия равные по модулю реакциям в связях, определенным в первом состоянии, но противоположные им по направлению (рис.9.11). Расчет системы в первом состоянии не представляет труда. В частности, если конечно-элементная схема создается таким образом, чтобы элементы представляли собой отдельные стержни (элементы 1, 2 и 3 на рис.9.11), то для каждого из таких элементов имеется табличное решение, позволяющее определить реакции в связях и построить эпюры внутренних усилий по их длине. Для расчета же системы во втором состоянии, т.е. для решения задачи 2, и применяется метод конечных элементов. Окончательное решение задачи будет представлять собой сумму решений этих двух задач.

В задаче 2 усилия, действующие на любой элемент приложены исключительно в узлах. В этом случае перемещения узлов любого элемента, взятого в отдельности (рис.9.12), однозначно определяют усилия и перемещения в любой точке этого элемента. Как известно, для стержневых систем решение такой задачи может быть найдено точно.Каждый, взятый отдельно от системы, конечный элемент должен быть достаточно простым, чтобы имелась возможность легко определить перемещения и усилия в любом сечении стержней элемента по заданным перемещениям его узлов. Связь между перемещениями узлов элемента и усилиями в них задается при помощи матрицы жесткости элемента. Количество перемещений узлов элемента, которые однозначно определяют состояние данного элемента называют числом степеней свободы элемента. Оно определяется по формуле:

где -число шарнирных узлов в элементе, а - число жестких узлов в элементе. Действительно, если узел представляет собой шарнир, то его положение на плоскости можно охарактеризовать двумя линейными перемещениями, например в вертикальном и горизонтальном направлениях. В случае жесткого узла необходимо еще дополнительно к линейным смещениям задать его поворот. Для всех элементов, из которых состоит конечно-элементная схема, должны быть построены матрицы жесткости элементов. В программных комплексах, реализующих алгоритм метода конечных элементов, хранятся готовые матрицы жесткости для элементов различных типов. На практике, при расчете плоских стержневых систем используют готовые матрицы жесткости для элементов только трех типов: простых стержней с двумя жесткими узлами, двумя шарнирными узлами, одним жестким и одним шарнирным узлом (рис.913). В этом случае при разбивке стержневой системы на элементы узлы вводятся в местах соединения и изломов стержней, в опорах, шарнирах и на свободных концах консольных стержней. В принципе узел может быть введен и в любых других точках, например, в точках приложения сосредоточенных сил.

В учебных целях могут использоваться и элементы других типов (рис.9.16), в том числе и включающие в себя опорные закрепления.

Из построенных матриц жесткости элементов формируется матрица жесткости системы. Для этого все матрицы жесткости элементов и матрица жесткости системы должны быть сформированы в единой системе осей координат, называемой глобальной системой осей координат. При расчете плоских стержневых систем традиционно используется следующая глобальная система осей координат (рис.9.17): ось 1 направлена вправо, ось 2 - вверх, ось 3 - против часовой стрелки. Матрицы жесткости элементов могут формироваться и храниться в памяти ЭВМ в своих, локальных системах осей координат, в общем случае отличных от глобальной системы осей координат. В данной ситуации при помощи специальной процедуры эти матрицы должны быть перестроены для глобальной системы осей координат. Так как матрица жесткости системы устанавливает связь между усилиями, приложенными к ее узлам и перемещениями ее узлов, то имея построенную матрицу жесткости системы и зная внешнюю узловую нагрузку, можно найти перемещения всех узлов конечно-элементной схемы. Для этого требуется решить систему линейных алгебраических уравнений. Порядок этой системы равен числу ее степеней свободы. По известным перемещениям узлов системы для каждого элемента при помощи имеющихся матриц жесткости элементов можно найти внутренние усилия в элементах от действия нагрузки, приложенной в узлах (задача 2). Окончательное решение задачи, как уже упоминалось, ищется как сумма решений задачи 1 и задачи 2. Таким образом, метод конечных элементов в данном виде аналогичен методу перемещений, так как сначала определяются перемещения узлов системы, а затем по ним - деформации и усилия в стержнях. Возможна реализация метода конечных элементов и в форме метода сил, однако она имеет ряд существенных недостатков и поэтому представляет большей частью чисто научный, но не практический интерес.

Итак, расчет стержневой системы методом конечных элементов в форме метода перемещений состоит из следующих этапов:

1.Создание конечно-элементной схемы (разбивка системы на элементы и их нумерация). 2.Сведение заданной внешней нагрузки к узловой. 3.Формирование матриц жесткости всех элементов системы в локальных системах координат и их преобразование в глобальную систему координат. 4.Формирование глобальной матрицы жесткости, системы уравнений метода конечных элементов и ее решение. 5.Определение усилий в элементах от действия узловой нагрузки. 6.Определение окончательных значений усилий в элементах путем сложения решений задач 1 и 2.