Особенности расчета конструкций с учетом изменения расчетных схем.

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 2119

8. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ.

Общие положения

Теоретической основой ПК ЛИРА является метод конечных элементов (МКЭ), реализованный в форме перемещений. Выбор именно этой формы объясняется простотой ее алгоритмизации и физической интерпретации, наличием единых методов построения матриц жесткости и векторов нагрузок для различных типов конечных элементов, возможностью учета произвольных граничных условий и сложной геометрии рассчитываемой конструкции. Принципы построения конечно-элементных моделей изложены в главе 9.

Реализованный вариант МКЭ использует принцип возможных перемещений

(1.1)

где u - искомое точное решение; v - любое возможное перемещение; a (u,v), (f,v) - возможные работы внутренних и внешних сил. Занимаемая конструкцией область разбивается на конечные элементы W_r, назначаются узлы и их степени свободы L_i (перемещения и углы поворота узлов).

Степеням свободы соответствуют базисные (координатные, аппроксимирующие) функции m_i, отличные от нуля только на соответствующих звездах элементов и удовлетворяющие равенствам

(1.2)

Приближенное решение U_h ищется в виде линейной комбинации базисных функций

(1.3)

удовлетворяющей главным (кинетическим) условиям,

где: u_i - числа; N - количество степеней свободы.

Далее излагается МКЭ для линейных задач, поскольку решение нелинейных задач сводится к последовательности линейных.

Подставляя в (1.1) U_h вместо U и m_j (j=l,...,N) вместо V, получим систему уравнений МКЭ:

(1.4)

Обозначив К матрицу жесткости с элементами k_{i, j}=a(m_i, m_j) , P - вектор нагрузок, с элементами P_i =(f, m_i) и Х- искомый вектор с элементами u_i , запишем систему (1.4) в матричной форме

КХ=Р (1.5)

Таким образом, применение МКЭ сводит задачу к системе линейных алгебраических уравнений (1.5).

Решив ее, находим вектор X , затем из (1.3) - остальные компоненты напряженно-деформированного состояния.

Важным преимуществом излагаемого метода является то, что матрицу К и вектор Р получают суммированием соответствующих элементов матриц жесткости и векторов нагрузок, построенных для отдельных конечных элементо