Метод хорд

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1512

Рассмотрим еще одну модификацию метода Ньютона. Пусть известно, что простой корень уравнения находится на отрезке , то есть . И предположим, что при (если это не так, то будем рассматривать уравнение ). Заменим кривую хордой .

Рисунок 1.9 – Хорда АВ для случая

Рисунок 1.10 – Хорда АВ для случая

Возможны два случая: 1) (рис. 1.9); 2) (рис. 1.10). В первом случае конец неподвижен и последовательные приближения:

(1.9)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем .

Во втором случае неподвижен конец , а последовательные приближения:

(10)

образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем Итак, в результате получаем следующее.

Выбор начального условия:

1. Рассматриваем только случай (иначе ).

2. Начальное приближение x₀ выбираем из условия

Неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

Критерий окончания. Критерий окончания итераций метода хорд такой же, как и для метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство .

Пример 1.4. Найти положительный корень уравнения с точностью . Отделим корень. Так как , , то . Разделим интервал пополам: , тогда .

Найдём производные: , . Исходя из того, что , то и пользуемся формулой (1.10): , .

, , .

Так как , то .