Методические указания

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1506

Требует усвоения понятие «средняя величина в статистике», научных принципов вычисления средних, видов и форм средних. Наиболее распространены на практике средняя арифметическая (простая и взвешенная) и средняя гармоническая (простая и взвешенная).

Средняя величина (СВ) – обобщающий показатель, выражающий типичный уровень (размер) варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности. Простые средние используются для несгруппированных данных, взвешенные – для сгруппированных данных (вариационных рядов). Все виды и формы средних обозначаются в статистике – .

Для того чтобы правильно применять на практике среднюю арифметическую или среднюю гармоническую, необходимо предварительно составлять исходное отношение (логическую, словесную формулу средней) и пользоваться критерием выбора вида средней.

Исходное отношение составляется на основе теоретического и экономического анализа. Примеры составления исходных отношений таковы:

средняя урожайность (ц/га) = ,

средний размер вклада в банке = .

Далее используется критерий.

1. Если в исходном отношении известны и числитель, и знаменатель, т.е. их можно определить последовательно путем простого суммирования, то используют среднюю в неявной форме – как отношение одного объемного показателя к другому объемному показателю.

2. Если в исходном отношении известен знаменатель, т.е. его можно определить с помощью одного лишь суммирования, а числитель непосредственно неизвестен, но его можно последовательно определить, то следует использовать среднюю арифметическую (простую или взвешенную – в зависимости от условия задачи).

Формула простой средней арифметической такова:

= ,

где x – значения варьирующего признака,

n – число этих значений (число единиц совокупности),

- сигма, знак суммирования.

Взвешенная средняя арифметическая определяется по формуле:

или = ,

где m – веса (абсолютные показатели),

f – веса (относительные показатели – удельные веса в процентах),

Заметим, что статистика разработала различные методы вычисления средней арифметической (по обычным формулам, на основе частных (групповых) средних, по данным интервального вариационного ряда).

3. Если в исходном отношении известен числитель, т.е. его можно определить с помощью одного лишь суммирования, а знаменатель неизвестен, но его можно определить последовательно, на основе других известных величин, то следует применять среднюю гармоническую (простую или взвешенную – в зависимости от условия задачи).

Формула простой средней гармонической: =

Формула средней гармонической взвешенной:

= ,

где w – веса средней (w = x m).

где x, n – то же, что в формулах средней арифметической.

Средняя гармоническая простая используется вместо взвешенной в тех случаях, когда значение w для всех единиц совокупности равны.

Для характеристики структуры вариационных рядов применяют показатели: медиану и моду (описательные, структурные средние). Необходимо обратить внимание на возможности их практического использования.

Средние величины дают обобщающую характеристику признака в совокупности. Однако практическое значение имеет также изучение отклонений значений признака от СВ. Для этого используются показатели вариации. Они дают количественную оценку степени вариации признаков в совокупности, используются при построении статистических моделей и др.

К показателям вариации относят:

1) абсолютные – размах вариации (вариационный размах), среднее линейное (абсолютное) отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Эти показатели характеризуют абсолютную колеблемость (вариацию) признаков и выражаются в тех же единицах измерения, что и изучаемый признак (у дисперсии единицы измерения не записываются). Они строятся для несгруппированных и сгруппированных данных.

Вариационный размах (R) определяется по формуле:

R= - ,

где и - соответственно наибольшее и наименьшее значения признака.

Среднее линейное отклонение ( ) – различают простое и взвешенное:

= - простое,

= - взвешенное.

Символы x, , n, m имеют то же значение, что и в предыдущем вопросе.

Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:

= - простая,

= - взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение ( ) рассчитывается по формулам:

= - простое,

= - взвешенное,

или через взаимосвязь с дисперсией = .

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько единиц отклоняются варианты от их средней арифметической.

Из всех абсолютных показателей вариации среднее квадратическое отклонение является наиболее распространенным на практике при изучении колеблемости. Однако и показатель дисперсии тоже является важным и используется для построения ряда других показателей статистики.

2) относительные – коэффициент вариации и коэффициент колеблемости.

Коэффициент колеблемости (W) и вариации (V) рассчитываются по формулам:

W= и V= .

Эти показатели характеризуют относительную колеблемость (вариацию) признаков и выражаются чаще в процентах. Относительные показатели вариации используют для сравнения степени вариации различных признаков в одной и той же совокупности (вариация заработной платы и выработки рабочих на предприятии) или одного и того же признака в разных совокупностях (вариация заработной платы рабочих отдельных цехов предприятия). Они важны и для анализа величины вариации (колеблемости) признака в статистической совокупности, так как характеризуют степень ее однородности. Для успешного усвоения темы 4 целесообразно решить предлагаемые задачи.

Типовая задача 1

По трем фермерским хозяйствам Перелюбского района известны следующие данные о посевной площади, валовом сборе и урожайности зерновых:

Определите среднюю урожайность в фермерских хозяйствах района используя данные: а) о посевной площади и валовом сборе; б) об урожайности и посевной площади; в) об урожайности и валовом сборе.

Необходимо учесть, что средняя величина должна вычисляться с учетом экономического содержания определяемого показателя. Такой подход позволяет правильно определить среднюю величину признака ( ) и выбрать форму средней.

А. Используя данные о посевной площади (m) и валовом сборе (w) для нахождения средней урожайности ( ), следует воспользоваться исходным соотношением средней, представленной формулой:

,

где знак берется по хозяйствам.

Таким образом, имеем .

Б. Используя данные об урожайности (x) и посевной площади для нахождения средней урожайности, следует преобразовать исходное соотношение средней таким образом, чтобы в числителе получилась величина валового сбора, а знаменатель бы при этом оставался прежним, т.е. построить формулу средней арифметической взвешенной:

,

где m – веса средней (посевная площадь).

.

В, При использовании данных об урожайности и валовом сборе (исходя из критерия) используют формулу средней гармонической. Так как в исходном отношении известен числитель и его можно определить с помощью суммирования валового сбора зерновых в хозяйствах, а знаменатель неизвестен, но его можно определить последовательно, на основе других известных величин, путем деления валового сбора на урожайность.

Формула средней гармонической взвешенной такова:

= ,

где w – веса средней (валовой сбор).

.

Использование взвешенной средней гармонической в расчетах правомерно в силу того, что веса этой средней не равны друг другу. В противном случае следовало бы использовать простую среднюю гармоническую величину.

Результаты расчетов позволяют сделать вывод, что средняя урожай­ность зерновых в трех фермерских хозяйствах района составила 18,7 ц/га.

Типовая задача 2

Распределение рабочих токарного цеха по числу произведенных за отчетный месяц деталей характеризуется следующими данными:

Определите среднее, медианное и модальное значение числа произведенных рабочими за отчетный месяц деталей.

Для нахождения средней степени выполнения норм выработки по данной группировке следует воспользоваться методом нахождения средней по интервальному вариационному ряду, для чего следует воспользоваться формулой средней арифметической взвешенной, в которой в качестве значения признака (x) необходимо от значений интервалов перейти к их серединам. Середины соответствующих интервалов находят как среднюю арифметическую простую, т.е. как сумму верхней и нижней границы интервала деленного пополам. При этом середины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравнивают к величине интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). В итоге получаем:

деталей.

Для определения медианного значения следует воспользоваться формулой медианы для интервального вариационного ряда:

,

где – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Медианным интервалом называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот ( ).

Ме = детали.

Значение 150 определялось путем деления общего числа рабочих пополам (300:2=150), значение 95 (т.е. накопленная частота интервала, предшествующего медианному) складывалось из частот двух предшествующих интервалов (20 + 75 = 95).

Мода интервального вариационного ряда определяется по формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

Модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту (в нашем случае это интервал от 100 до 110).

детали.

По найденным значениям средней, медианы и моды можно сделать выводы, что рабочими за отчетный месяц было произведено в среднем 104 детали.

Типовая задача 3

Имеются следующие данные о распределении предприятий города по размерам прибыли:

Определите средний размер прибыли предприятий города. Для измерения вариации размеров прибыли используйте cреднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Средний размер прибыли предприятий города определяется аналогично описанной ранее описанной методике в типовой задаче № 2. Он составляет 860 тыс. ден. ед. ( = 860 тыс. ден. ед.).

Так как данные сгруппированы для измерения вариации используют взвешенные: среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Их формулы таковы:

Среднее линейное отклонение ( ):

=

Дисперсия:

=

Дисперсия представляет собой среднюю арифметическую из квадратов отклонений, т.е. это средний квадрат отклонений вариант от их средней величины.

Среднее квадратическое отклонение ( ):

= = .

Символы x, , n, m имеют то же значение, что и в предыдущей теме.

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько единиц отклоняются варианты от их средней арифметической.

Из всех абсолютных показателей вариации среднее квадратическое отклонение является наиболее распространенным на практике при изучении колеблемости.

Методика расчета этих показателей вариации для данных по интервальной группировке аналогична методике расчета средней величины, описанной в предыдущей задаче. Исходя из этого имеем:

тыс. ден. ед.

Таким образом, степень отклонения размеров прибыли предприятий от их среднего размера составляет 73.5 тыс. денежных единиц.

.

Единицы измерения дисперсии в расчетах не пишут.

Следовательно, = 97,0 тыс. ден. ед. Таким образом, степень отклонения размеров прибыли предприятий от ее среднего размера составляет 97 тыс. ден. ед.

Коэффициент вариации (V) является наиболее часто используемым относительным показателям вариации. Он рассчитывается так:

%.

В нашем случае коэффициент вариации составит:

11,3 %.

Коэффициент вариации характеризует степень отклонения размеров прибыли предприятий от ее среднего размера, т.е. можно утверждать, что размер прибыли предприятий отклоняется от ее среднего размера на 11,3 %.

Следует заметить, что коэффициент вариации не имеет верхней границы.