|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ФОРМЫ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1549
Как уже указывалось, комплексное число Z может быть представлено в форме Z = а + i b (10), где а = Re Z и b = Im Z. Такая форма представления комплексных чисел называется алгебраической. Каждое комплексное число Z = а + ib может быть изображено на плоскости XOY точкой Z(a;b), координатами которой являются соответст-венно действительная и мнимая части этого числа (рис. 1). Такое изображение комплексного числа называется его геометрической трактовкой (интерпретацией). В этом случае рассматриваемую плоскость называют плоскостью комплексной переменной или просто комплексной плоскостью. ImZ Z (a;b)
Рис. 1
Действительные числа Z = а + i0 изображаются точками на оси ReZ. Чисто мнимые числа Z = 0 + i b изображаются точками на оси ImZ. При этом ось ОХ называется действительной осью, а ось OY – мнимой. Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком, называются комплексно-сопряжёнными и графически изображаются следующим образом:
– b a – i b
Рис.2 Для точек, соответствующих паре комплексно–сопряжённых чисел, ось ОХ является осью симметри́и. Полярные координаты ρ и θ точки Z(a;b) называются соответственно модулем (или абсолютной величиной) и аргументом комплексного числа Z. Они обозначаются: ρ = ½Z½ (11) θ = Аrg Z (12) Здесь угол θ определён с точностью до слагаемого 2pk, где k – целое число. Значение аргумента Z, которое удовлетворяет двойному неравенству – π φ π , (13) называется главным значением аргумента Z и обозначается arg Z. Тогда получим: Arg Z = arg Z + 2pk = φ + 2pk (14) Если |Z|= 0, то в этом единственном случае аргумент считается неопределённым. Между модулем и аргументом комплексного числа Z = а + ib и его действительной и мнимой частями очевидны следующие соотношения (рис. 1): а = | Z | cos θ = ρ cos θ (15) b = | Z | sin θ = ρ sin θ (16) Отсюда ρ = | Z | = (17) cos θ = = (18) sin θ = = (19) Очевидно, что вводя соответствие между точками на плоскости и комплексными числами, мы, тем самым, устанавливаем связь между соответствующими одной и той же точке комплексным числом и радиусом–вектором. Причём действительная и мнимая части комплексного числа будут определять проекции соответствующего радиуса–вектора на оси ОХ и ОУ, т. е. его координаты. Подставляя (15) и (16) в (10), получим тригонометрическую формулу комплексного числа: Z = ρ (cos θ + i sin θ) (20) Пример 1. Представить на комплексной плоскости число Z0= - 2 + i3. Решение дано на рис. 3 Y
Рис. 3
Пример 2. Представить число Z=– 1 в тригонометрической форме. Решение: Для числа Z = – 1 + i0 | Z | = 1; θ = ArgZ = p + 2pк. Отсюда: –1 = cos (2к + 1) p + i sin (2к + 1) p При к = 0это выражение принимает наиболее простой вид: – 1 = cos p + i sin p или Z = cos p
Пример 3. Представить в тригонометрической форме число Z= 1 — i . Решение: ρ = | Z | = 2; cos θ = ; sin θ = – . Угол φ находится в четвёртой четверти и поэтому θ = ArgZ = – + 2pк; φ = arg Z = – . С учётом cos ( – ) = cos и sin( – ) = – sin получим (при к = 0) 1 – i = 2 (cos – i sin ). Пример 4. По тригонометрической форме комплексного числа Z = (cos + i sin ) получить алгебраическую форму. Решение: Здесь φ = arg Z= . Тогда a = | Z | cos φ = cos = ∙ = 1, b = | Z | sin φ = sin = ∙ = 1, Z = a + ib = 1 + i |
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.036 сек.) |