Решение типовых примеров


Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 840


<== предыдущая страница | Следующая страница ==>

1.1. Сложить две матрицы и

Решение. Складывать (вычитать) можно только матрицы одинакового размера, а т.к. размеры матрицы А – (3´2) и В – (3´2) (где 3 – число строк, 2 – число столбцов) совпадают, то для того, чтобы сложить две матрицы, надо к каждому элементу первой матрицы прибавить соответствующие элементы второй матрицы:

+ = = .

Ответ: .

 

1.2. Умножить матрицу на число 3.

Решение. Для того, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Ответ: .

 

1.3. Умножить матрицу на матрицу .

Решение. Умножение матриц А и В определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

С m´n = A m´kB k´n

Совпадают

 

Размерность результирующей матрицы

 

В нашем случае размер А – (2´3), а размер В – (3´3), поэтому умножение производить можно; размерность результирующей матрицы С – (2´3). Для того чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i–й строки и j–го столбца новой матрицы, нужно элементы i–й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй матрицы и результат сложить, т.е. элементы матрицы С вычисляются по формуле:

.

C= =

= .

Ответ: C= .

 

2. Вычислить определитель 3-го порядка: .

Решение. 1) Метод разложения по элементам строки или столбца.

С помощью метода разложения по элементам строки (столбца) можно вычислить определители любого порядка. Строку (столбец), по элементам которого производится разложение, следует выбирать так, чтобы в ней содержалось наибольшее количество нулей.

Разложим определитель по элементам какой-либо строки или столбца. Например, выберем для разложения третий столбец:

= 3∙А13 + 0∙А23 + 3∙А33 = 3∙А13 + 3∙А33 . (1)

Здесь А13, А23, А33 – алгебраические дополнения элементов матрицы а13, а23, а33 соответственно, которые в общем случае для элемента аij находятся по формуле

Аij = (–1)i+j∙Mij. (2)

Минор Мij – определитель, получаемый из исходного вычеркиванием i‑й строки и j‑го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, для нахождения М13 вычеркивается 1-я строка и 3-йстолбец:

.

Аналогично определяем М23, вычеркивая 2-ю строку и 3-й столбец.

М33 получается вычеркиванием 3-й строки и 3-го столбца:

.

Тогда алгебраические дополнения (по формуле (2)) будут равны:

А13 = (–1)1+3∙M13= (–1)4∙6 = 6,

А33 = (–1)3+3∙M33=(–1)6∙3= 3.

Подставляя найденные значения в (1), найдем определитель

= 3∙6 + 3∙3 = 27.

Ответ: 27.

 

2) Метод Саррюса.

С помощью метода Саррюса можно вычислять только определители третьего порядка.

Сначала к исходному определителю справа приписываем первый и второй столбцы:

Тогда определитель равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и диагоналях, параллельных ей, взятых со своими знаками, и произведению элементов побочной диагонали и параллельных ей диагоналях, взятых с противоположными знаками.

= 2∙4∙3 + 1∙0∙1 + 3∙5∙2 – 3∙4∙1 – 2∙0∙2 – 1∙5∙3 = 27.

 

Ответ: 27.

 

3. Решить систему линейных уравнений:

1) Метод Крамера.

Выпишем определитель матрицы системы А:

Δ = = 4.

(Так как определитель не равен 0, то метод Крамера использовать можно, и система имеет единственное решение.)

Определитель Δ1 получаем из определителя Δ заменой первого столбца на столбец свободных членов В, а остальные столбцы остаются прежними:

Δ1 = = 4.

Аналогично, заменяя в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно Δ2 и Δ3.

Δ2 = = 8, Δ3 = =12.

Теперь воспользуемся формулой Крамера и найдем все переменные:

, , .

2) Метод Гаусса.

Метод Гаусса – это универсальный метод решения систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении переменных.

Составим расширенную матрицу системы, которая включает в себя матрицу системы и столбец свободных членов.

.

Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент а11 = 0, то перестановкой строк нужно добиться того, чтобы элемент а11≠ 0. В нашем примере а11≠ 0.

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого поочередно умножим элементы первой строки на числа и , и прибавим соответственно к элементам второй и третьей строк:

2∙ -3

+ + →

Шаг 2. Если в полученной матрице а22 ≠ 0, то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке:

.

Полученная матрица имеет треугольный вид.

Т.о. получили систему уравнений:

Откуда найдем из последнего уравнения х3 = 3; из второго х2 = =2; из первого х1 = 8 – 2х2х3 = 1.

Ответ: х1 = 1, х2 = 2, х3 = 3.

 

 

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

А(5; 4) и В(2; –3).

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки М11;y1) и М22;y2) имеет вид: .

Уравнение прямой, проходящей через заданные точки:

.

Ответ: уравнение прямой

 

 

5. Значение функции известно в точках a и b. С помощью линейной интерполяции найти значение функции в точке с.

а f(a) b f(b) c
2,42 2,04 2,88 2,008

Решение. Формула линейного интерполирования:

f(c) » f(a) + , где h = b – a, Df = f(b) – f(a).

Подставляя в формулу известные значения из таблицы, получим:

f(2,008) » 2,42 + = 2,512.

Ответ. f(2,008) » 2,512.

 

6. Найти производную функции:

а) у = х + 2 б) y = (2x – 3)(3x + 2) в) у =

г) у = д) у =(x3 – 2x2 + 5)6 е)

ж) з) y = tg(3x2 – 1) и) .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |

При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.035 сек.)