Решение типовых примеров

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1571

Свойства нормального распределения <== предыдущая страница | Следующая страница ==> Производная сложной функции

1.1. Сложить две матрицы и

Решение. Складывать (вычитать) можно только матрицы одинакового размера, а т.к. размеры матрицы А – (3´2) и В – (3´2) (где 3 – число строк, 2 – число столбцов) совпадают, то для того, чтобы сложить две матрицы, надо к каждому элементу первой матрицы прибавить соответствующие элементы второй матрицы:

+ = = .

Ответ: .

1.2. Умножить матрицу на число 3.

Решение. Для того, чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число:

Ответ: .

1.3. Умножить матрицу на матрицу .

Решение. Умножение матриц А и В определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

С _m_´_n = A _m_´_k∙B _k_´_n

Совпадают

Размерность результирующей матрицы

В нашем случае размер А – (2´3), а размер В – (3´3), поэтому умножение производить можно; размерность результирующей матрицы С – (2´3). Для того чтобы получить элемент, стоящий на пересечении i–й строки и j–го столбца новой матрицы, нужно элементы i–й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j–го столбца второй матрицы и результат сложить, т.е. элементы матрицы С вычисляются по формуле:

C= ∙ =

= .

Ответ: C= .

2. Вычислить определитель 3-го порядка: .

Решение. 1) Метод разложения по элементам строки или столбца.

С помощью метода разложения по элементам строки (столбца) можно вычислить определители любого порядка. Строку (столбец), по элементам которого производится разложение, следует выбирать так, чтобы в ней содержалось наибольшее количество нулей.

Разложим определитель по элементам какой-либо строки или столбца. Например, выберем для разложения третий столбец:

= 3∙А₁₃ + 0∙А₂₃ + 3∙А₃₃ = 3∙А₁₃ + 3∙А₃₃ . (1)

Здесь А₁₃, А₂₃, А₃₃ – алгебраические дополнения элементов матрицы а₁₃, а₂₃, а₃₃ соответственно, которые в общем случае для элемента а_ij находятся по формуле

А_ij = (–1)ⁱ⁺^j∙M_ij. (2)

Минор М_ij – определитель, получаемый из исходного вычеркиванием i‑й строки и j‑го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Например, для нахождения М₁₃ вычеркивается 1-я строка и 3-йстолбец:

Аналогично определяем М₂₃, вычеркивая 2-ю строку и 3-й столбец.

М₃₃ получается вычеркиванием 3-й строки и 3-го столбца:

Тогда алгебраические дополнения (по формуле (2)) будут равны:

А₁₃ = (–1)¹⁺³∙M₁₃= (–1)⁴∙6 = 6,

А₃₃ = (–1)³⁺³∙M₃₃=(–1)⁶∙3= 3.

Подставляя найденные значения в (1), найдем определитель

= 3∙6 + 3∙3 = 27.

Ответ: 27.

2) Метод Саррюса.

С помощью метода Саррюса можно вычислять только определители третьего порядка.

Сначала к исходному определителю справа приписываем первый и второй столбцы:

Тогда определитель равен сумме произведений элементов, стоящих на главной диагонали и диагоналях, параллельных ей, взятых со своими знаками, и произведению элементов побочной диагонали и параллельных ей диагоналях, взятых с противоположными знаками.

= 2∙4∙3 + 1∙0∙1 + 3∙5∙2 – 3∙4∙1 – 2∙0∙2 – 1∙5∙3 = 27.

Ответ: 27.

3. Решить систему линейных уравнений:

1) Метод Крамера.

Выпишем определитель матрицы системы А:

Δ = = 4.

(Так как определитель не равен 0, то метод Крамера использовать можно, и система имеет единственное решение.)

Определитель Δ₁ получаем из определителя Δ заменой первого столбца на столбец свободных членов В, а остальные столбцы остаются прежними:

Δ₁ = = 4.

Аналогично, заменяя в исходном определителе второй, а затем третий столбцы на столбец свободных членов, получим соответственно Δ₂ и Δ₃.

Δ₂ = = 8, Δ₃ = =12.

Теперь воспользуемся формулой Крамера и найдем все переменные:

, , .

2) Метод Гаусса.

Метод Гаусса – это универсальный метод решения систем линейных уравнений. Он заключается в последовательном исключении переменных.

Составим расширенную матрицу системы, которая включает в себя матрицу системы и столбец свободных членов.

Произведем элементарные преобразования со строками матрицы, приведя ее к треугольному виду, т.е. к матрице, в которой все элементы, ниже главной диагонали равны нулю (при этом диагональные элементы не равны нулю).

Шаг 1. Если в матрице элемент а₁₁ = 0, то перестановкой строк нужно добиться того, чтобы элемент а₁₁≠ 0. В нашем примере а₁₁≠ 0.

Сначала обнулим элементы первого столбца ниже главной диагонали. Для этого поочередно умножим элементы первой строки на числа и , и прибавим соответственно к элементам второй и третьей строк:

_{2∙ -3}

+ + →

Шаг 2. Если в полученной матрице а₂₂≠ 0, то обнулим элемент второго столбца ниже главной диагонали. Для этого умножим вторую строку на число и прибавим к третьей строке: