Производная сложной функции

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1622

Если у есть функция от и: у = f(u), где и в свою очередь есть функция от аргумента х: u = φ(x), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент и, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y = f(φ(x)).

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

y’_x = y’_u u’_x

Таблица производных:

№	Функция у	Производная у’
	С
	x
	un	n∙un-1∙ u’
	eu	eu∙u’
	au	au∙ln a∙u’
	ln u
	loga u
	sin u	cos u∙u’
	cos u	– sin u∙u’
	tg u
	ctg u
	arcsin u
	arcos u	–
	arctg u
	arcctg u	–

Решение. а) у = х + 2

Используя правило дифференцирования (3) и формулы (1), (2), имеем:

у' = (x + 2)’ = (x)’ + (2)’ = 1 + 0 = 1.

б). y = (2x – 3)(3x + 2)

y’ = ((2x – 3)(3x + 2))’ = (2x – 3)’∙(3x + 2) + (2x – 3)∙(3x + 2)’ = 2∙(3x + 2) + (2x – 3)∙3 = 12x – 5. Здесь мы использовали правило дифференцирования (5).

в) у =

Используя правило дифференцирования (7), имеем

г) у =

Найдем производную, используя правило дифференцирования (4) и формулу (3).

у' = .

д) у =(x³ – 2x² + 5)⁶

Пусть x³ – 2x² + 5 = и, тогда у = и⁶. По формуле (3), получим у’ = (и⁶)’ = 6u⁵∙u’= 6(x³ – 2x² + 5)⁵∙(x³ – 2x² + 5)’ = 6(x³ – 2x² + 5)⁵∙(3x² – 4x).

е)

По правилу дифференцирования (7) и формуле (10) получим:

= .

ж)

Используя формулы (4) и (10), имеем:

.

з) y = tg(3x² – 1).

По формуле (12) имеем:

y' = (tg(3x² – 1))’ = .

и) .

По формуле (8), а также (3), (4), (5) имеем:

=

= .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = х³ – 12х на отрезке [0, 5].

Решение. Сначала найдем производную функции: у’ = 3х² – 12.

Затем найдем критические точки, т.е. точки, в которых у’ = 0 или не существует: 3х² – 12 = 0, откуда критические точки х₁ = –2, х₂ = 2. Точка х₁ = –2 не принадлежит отрезку [0, 5], поэтому мы исключаем ее из рассмотрения.

Вычислим значения функции в критической точке х₂ = 2 и на концах интервала и выберем из них наибольшее и наименьшее: у(2) = – 16, у(0) = 0, у(5) = 65.

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке [0, 5] равно 65, наименьшее значение равно –16.

8. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма цифр, выпавших на гранях кубика, будет четной и при этом хотя бы на одной из них появится цифра пять.

Решение. Каждый из шести исходов бросания одного кубика может сочетаться с каждым из шести исходов бросания другого кубика. Таким образом, общее число элементарных исходов испытания равно Благоприятствующими интересующему нас событию являются следующие пять исходов: Следовательно, искомая вероятность равна

9. Пользователь разыскивает нужную информацию в трех базах данных. Вероятности того, что информация содержится в й, й, й базе, соответственно равны: ; ; . Используя теоремы сложения и умножения вероятностей, найти вероятность того, что информация содержится: а) только в одной базе; б) хотя бы в двух базах; в) только во 2-й и 3-й базах.

Решение

а). Введем обозначения: событие информация содержится в й базе; событие информация не содержится в й базе; событие информация содержится только в одной базе; событие информация содержится хотя бы в двух базах; событие информация содержится только во 2-й и 3-й базах.

Вероятности событий равны .

Рассмотрим событие . Информация содержится только в одной базе тогда, когда:

она содержится в первой и не содержится во второй и третьей

или

она содержится во второй и не содержится в первой и третьей,

или

она содержится в третьей и не содержится во первой и второй.

Тогда событие можно представить так . Здесь первое слагаемое – это произведение наступившего события и двух других, не наступивших событий и . Аналогично определяются второе и третье слагаемое.

Применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий и теорему умножения для независимых событий, получим:

б) Событие наступает тогда, когда не наступает одно из двух событий:

информация не содержится ни в одной из баз (событие );

информация содержится только в одной базе (событие ).

Тогда

.

в) Событие легко выписывается через произведение вероятностей: , тогда

.

10. Средний рост солдат равен Предположим, что рост является нормально распределенной случайной величиной с параметрами , . Определить число солдат в группе, рост которых между и .

Решение.

Для решения воспользуемся формулой:

Подставив , получаем:

.

По таблице находим

Следовательно, Таким образом, доля солдат с ростом от 1,75 до 1,85м равна 68,26%. Таким образом, среди солдат ожидаемое число солдат с интересующим нас ростом будет равно

Литература

Основная

1. Павлюченко, Ю.В. Высшая математика для гуманитарных направлений : учеб. пособие для бакалавров / Ю.В. Павлюченко, Н.Ш. Хассан, В.И. Михеев ; Российский Университет Дружбы народов; под ред. Ю.В. Павлюченко. – 4-е изд., перераб. и доп. – М. : Издательство Юрайт, 2013. – 238 с.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для бакалавров / В.Е. Гмурман. – 12-е изд. – М. : Юрайт, 2013. – 480с.