 |
Условие перпендикулярности двух прямых
Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1666
|
|
Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, когда угол j между ними равен 
, т.е. 
.
Координаты точки 
, делящей отрезок АВ в данном отношении 
, где 
, 
, можно вычислить по формулам
.
В частности, если 
, то 
, т.е. М – середина отрезка АВ, то формулы примут вид
.
Если уравнение прямой дано в общей форме: 
, то расстояние точки 
до этой прямой находится по формуле:
.
Площадь треугольника с вершинами 
, 
можно вычислить по формуле
.
Пример
Даны вершины треугольника 
. Найти:
1) уравнение стороны АВ;
2) уравнение медианы, проведенной из вершины С;
3) координату точки пересечения медиан;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины В на сторону АС и ее длину;
5) уравнение прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ;
6) площадь треугольника.
Решение
1) Используем уравнение прямой, проходящей через две точки 
. Подставив координаты точек 
, получим
- общее уравнение прямой АВ, из которого находим уравнение прямой с угловым коэффициентом 
, 
.
2) Медиана, проведенная из вершины С делит противолежащую сторону АВ треугольника пополам. Найдем координаты точки Е середины стороны 
(рис.1):
, т.е. 
, 
. Подставим координаты точек в уравнение прямой, проходящей через две точки, получим 
- общее уравнение прямой СЕ.
3) Точка М делит каждую медиану в отношении 
, считая от вершины. Таким образом, ее координаты 
можно найти по формулам:
.
В нашем случае
,
откуда 
.
4) Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку 
перпендикулярно прямой 
из уравнения 
. Найдем угловой коэффициент прямой АС, используя уравнение прямой, проходящей через две точки 
и 
:
- уравнение АС.
Угловой коэффициент прямой АС равен 
, тогда, используя условие перпендикулярности двух прямых 
, получим
- уравнение высоты.
Длину высоты можно найти, как расстояние от точки 
до прямой АС по формуле 
. В нашем случае уравнение прямой АС: 
, следовательно,
.
5) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ используем уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении 
и условие параллельности двух прямых. Известно, что угловой коэффициент прямой АВ равен 
, следовательно,
-
- уравнение искомой прямой.
6) Площадь треугольника находится по формуле: 
, в нашем случае
.
у А(4;6)
Е
В(-4;0) М
0 1 х
С(-1;-4)
Рис. 1