КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 433

В третью контрольную работу включены задачи на нахождение пределов функций и исследование непрерывности функций. Для их решения необходимо проработать литературу: [3, гл. 5, п. 1, 2; 5, гл. 13, 14; 6 гл. 6, п. 1–6; 8, гл. 2, упр. 1–62].

1. В задачах № 1–30 необходимо найти четыре предела. Рассмотрим особенности, которые надо учитывать при решении этих задач.

1.1. При отыскании предела отношения двух многочленов относительно , при , имеем неопределенность вида . В этом случае следует разделить числитель и знаменатель дроби на , где – наивысшая степень этих многочленов [3, гл. 5, с. 182, примеры 5–7; 5, гл. 3, п. 101, примеры 10, 11; 6, гл. 6, п. 4, примеры 637, 645].

Пример 1.

, так как , , , , .

Все пределы такого типа сводятся к следующему:

Аналогичный прием можно применять и для дробей, содержащих иррациональные выражения [6, гл. 6, п. 4, пример 646 и др.].

Пример 2. Найдем .

Наивысшая степень многочлена в числителе равна 1, а в знаменателе равна 2 , следовательно, делим числитель и знаменатель на (под корнем – на ), получим:

1.2. При нахождении подставляем значение в данные многочлены. При этом могут получиться следующие результаты:

где отличные от нуля числа и являются пределами числителя и знаменателя соответственно.

Чтобы избавиться от неопределенности следует дробь сократить на , для чего разложить числитель и знаменатель на множители [3, гл. 5, правило на с. 182, пример 4 на с. 181; 5, гл. 13, с. 254, пример 4; 6, гл. 6, п. 4, примеры 638–640; 8, гл. 2, с. 45, пример 4].

Пример 3: .

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на .

1.3. При нахождении предела от дробно-иррациональной функции полезным приемом является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот [5, гл. 13, п. 101, с. 254, примеры 5, 6; 6, гл. 6, п. 4, примеры 641, 642, 647].

Пример 4. Найти .

Здесь имеем неопределенность . Избавимся от иррациональности в числителе, используя формулу:

.

Домножим числитель и знаменатель на одно и то же выражение, получим:

.

1.4. При вычислении пределов отношений, содержащих тригонометрические функции, во многих случаях используют первый замечательный предел , то есть [3, гл. 5, п. 1, с. 185, примеры 1, 2; 5, гл. 13, п. 101, с. 256, примеры 7–9; 6, гл. 6, п. 4, примеры 643, 644; 8, гл. 2, п. 7, с. 48, примеры 1–4].

Пример 5.

так как .

1.5. При нахождении пределов вида следует иметь в виду следующее.

а) Если .

Пример 6. .

б) Если , то предел находится непосредственно вычислением.

Пример 7. .

в) Если то сводится к неопределенности , которую можно раскрыть, применяя второй замечательный предел:

или

Пример 8. . Применим второй замечательный предел вида .

.

Пусть , тогда при , и предел равен

.

1.6. При вычислении пределов от логарифмических функций необходимо использовать свойства логарифмов.

Пример 9.

Неопределенность вида исключается с помощью второго замечательного предела , если введем новую переменную , отсюда и при . Имеем:

, так как .

Пример 10.

.

2. При решении задач № 31–60 необходимо учитывать, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения. Непрерывность нарушается в тех точках, где функция не определена [3, гл. 5, п. 2; 5, гл. 13, 14, п. 103–108; 6, гл. 6, п. 6, примеры 719–721; 8, гл. 2, п. 9–11].

Пример. Установить, является ли функция непрерывной при значениях аргумента и .

Решение. При знаменатель дроби обращается в нуль, и функция не определена, следовательно, точка есть точка разрыва. Установим тип разрыва, для чего найдем пределы слева и справа при .

Предел справа , так как в знаменателе положительная бесконечно малая величина. Отсюда .

Предел слева , так как в знаменателе отрицательная бесконечно малая величина, тогда .

Точка есть точка разрыва второго рода. Схематический чертеж графика данной функции изображен на рис. 8.

При : , Следовательно, при функция непрерывна (предел функции справа и слева совпадает со значением функции при ).

3. В заданиях № 61–90 следует построить график и найти точки разрыва (если они существуют) функции, которая описывается разными уравнениями на различных промежутках. Такие функции могут иметь точки разрыва первого рода, поэтому следует проработать следующую литературу: [3, гл. 5 , п. 2, с. 196–197, 5, гл. 14, п. 107; 8, гл. 2, п. 9]. Лучше всего этот вопрос изложен в [5].

Пример. Функция

задана различными уравнениями на трех промежутках: . Поэтому график функции состоит из трех частей (рис. 9):

1) график строим не для всех , а только для , то есть в промежутке ;

2) график функции строим только для , то есть в промежутке ;

3) график функции строим для , то есть при .

Каждая из составляющих функций непрерывна в своем промежутке, следовательно, разрывы заданной функции могут быть только на границах промежутков в точках и .

Исследуем . Так как , и , то в точке функция непрерывна (функция определена в точке , пределы слева и справа равны значению функции в самой точке).

Исследуем :

, , .

Так как предел справа не равен пределу слева и значению функции в самой точке , то функция имеет разрыв первого рода – скачок.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беклемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1980.

2. Шнейдер, В. Е. Краткий курс высшей математики. / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. – М.: Высш. шк., 1972.

3. Шнейдер, В. Е. Краткий курс высшей математики. Т. 1. / В. Е. Шнейдер, А. И. Слуцкий, А. С. Шумов. – М.: Высш. шк., 1978.

4. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. – М.: Высш. шк., 1981, 1983.

5. Лихолетов И. И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. – Минск: Вышэйшая школа, 1976.

6. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1 / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. А. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 1980.

7. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975.

8. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1970.

Владимир Матвеевич Волков

Гоголин Вячеслав Анатольевич

Грибанов Евгений Николаевич

Ермакова Инна Алексеевна