Задачи повышенной трудности

Т – бинарная операция на А, если Т – отображение А ´ А в А.

Вместо записи Т((х, у)) = z принята чаще всего запись xTy = z. Более того, операцию принято обозначать знаками: и т.п.

Бинарная операция называется коммутативной, если ("х)("у) (х у = у х).

Бинарная операция называется ассоциативной, если ("х)("у)("z) ((х у) z = x (y z)).

Элемент е из А называется нейтральным относительно операции , если ("х) (х е = е х = х).

Элемент b называется симметричным элементу а, если е – нейтральный элемент и а b = b а = е.

Операция называется сократимой слева, если ("х)("у)("z) (х у = х z ® y = z).

Операция называется сократимой справа, если ("х)("у)("z) (х у = z y ® x = z).

Подмножество В Ì А называется замкнутым относительно операции , определенной на множестве А, если ("х)("у)("z) (хÎВ Ù уÎВ ® х yÎВ).

Отношение эквивалентности e называется конгруэнцией относительно , если ("х)("у)("z) .

Множество, на котором заданы операции, называют алгеброй.

Пусть на множестве А задана конгруэнтность e относительно операции . Операция * на фактор-множестве А/e такая, что "наследует" все свойства операции (коммутативность, ассоциативность, сократимость, наличие нейтрального, симметризуемость).

Наиболее распространенными являются аддитивная и мультипликативная терминологии: если операция названа "сложением", то она обозначается значком +, компоненты действия называются слагаемыми, результат операции называется суммой, нейтральный элемент обозначается 0 и называется нулем, элемент, симметричный элементу а, обозначается – а;

если операция названа "умножением", то она обозначается значком ▪ (или между компонентами операции вообще не ставится никакого значка), компоненты действия называются сомножителями, результат действия – произведением, нейтральный элемент обозначается е или 1 и называется единицей, элемент, симметричный элементу а, называется элементом, обратным элементу а, и обозначается а ^-1.

Алгебра с одной бинарной операцией называется группоидом; группоид, операция в котором коммутативна, называется абелевым группоидом; группоид, операция в котором ассоциативна, называется полугруппой; полугруппа, в которой есть нейтральный элемент, называется моноидом; моноид, в котором операция симметризуема, называется группой.

Одному из важнейших математических понятий – понятию группы – дадим непосредственное определение (на мультипликативном языке):

Множество G с операцией умножения называется группой, если умножение ассоциативно, имеется единица и каждый элемент имеет обратный; если умножение к тому же коммутативно, то группа называется абелевой.

Теперь об алгебрах с двумя бинарными операциями: сложением и умножением.

Алгебра К с двумя операциями называется кольцом, если К относительно сложения является абелевой группой, К относительно умножения является полугруппой и операция умножения дистрибутивна относительно сложения, то есть ("х)("у)("z) ((х + у)z = xz + yz Ù x(y + z) = xy + xz).

Кольцо называется коммутативным (абелевым), если умножение в нем коммутативно.

Кольцо К называется кольцом с делителями нуля, если ($х)($у)(х ¹ 0 Ù y ¹ 0 Ù xy = 0).

Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Кольцо, в котором не менее двух элементов и умножение симметризуемо называется телом.

Наконец, коммутативное тело называется полем.