 |
Практические задания
Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 932
|
|
1. Являются ли операциями на множестве натуральных чисел следующие отношения между N2 и N:
а)  ;
в)  ;
д)  ;
| б)  , где [z] – целая часть числа z;
г)  ;
е)  ;
ж)  .
|
В тех случаях, когда отношения являются бинарными алгебраическими операциями на N, обозначив их через 
перейдите к принятой для операции записи.
2. Определите являются ли действия умножения, деления, сложения и вычитания чисел алгебраическими операциями в следующих числовых множествах: а) множество всех натуральных чисел; б) множество N È {0}; в) {2n + 1| nÎZ}; г) Z; д) Q; е) R.
3. Является ли действие *, определенное на множестве М, алгебраической операцией, если:
| а) * - сложение, М = {x | xÎZ Ù x < 0}; б) * - вычитание, М = Z; | в)  , M = N;
г) * - умножение чисел, M = {5n + 1| nÎN}.
|
4. Какие из следующих алгебраических операций на множестве рациональных чисел являются коммутативными: а) сложение; б) умножение; в) деление; г) вычитание; д) операция *, задаваемая формулой х*у = х + 2у; е) операция *, задаваемая формулой 
?
5. Какие из следующих операций на множестве целых чисел ассоциативны: а) сложение; б) вычитание; в) умножение; г) деление; д) х*у = 3х + 2у; е) 
?
6. Выясните свойства действий пересечения и объединения множеств на множестве всех подмножеств некоторого непустого множества.
7. Выясните свойства разности множеств на множестве из задания 6.
8. Выясните свойства операции – симметрической разности: (X \ Y) È (Y \ X) на множестве задания 6.
9. Выясните свойства операции 
, заданной на множестве М = 
, согласно которой 
.
10. Выясните свойства операций, заданных в задании 1.
11. Выясните является ли отношение 
монотонным относительно операции 
(операция и отношение заданы на N) если:
а) a b = HOD(a,b), (x, y)Î « x < y;
б) a b = HOK(a,b), (x, y)Î « x < y;
в) a b = a + b, (x, y)Î « (x + y)  2;
| г) a b = a × b, (x, y)Î « x £ y;
д) a b = a b, (x, y)Î « HOD(x, y) = 1;
е) a b = | a – b | + 1, (x, y)Î « HOD(x, y) > 1.
|
12. Выясните свойства операций и связь между ними, если (a1,m1) Å (a2,m2) = (a1m2 + a2m1, m1m2), (a1,m1) ⊙ (a2,m2) = (a1a2, m1m2) и операции заданы на множестве M = {(a,m)| aÎZ, mÎN}.
13. Убедитесь, что алгебраической операцией является следующее отношение между множествами М 2 и М, где М = 
, n Î N, (((i1, i2, …, in), (j1, j2, …, jn)), (k1, k2, …, kn)) Î « ka = jia, a = 
. Упростите запись, приняв (i1, i2,…, in) = 
и обозначив отношение через точку.
14. Докажите, что операция из задания 13 обладает свойствами ассоциативности, обратимости, но не коммутативности. Найдите нейтральный элемент.
15. Составьте таблицу сложения, определенную на множестве М = 
, согласно которому 
, где s – остаток от деления i + k на 5. Выясните свойства этой операции.
16. Составьте таблицы сложения и умножения, определенные на множестве М = 
, следующим образом: 
, где k – остаток от деления i + j на 3,
, где k – остаток от деления i · j на 3.
Выясните свойства этих действий и докажите, что умножение дистрибутивно относительно сложения.
17. На множестве М = {(a,b)| aÎN, bÎN, a > b} заданы: операция , согласно которой (a,b) (c,d) = (ac + bd, ad + bc) и отношение >, такое, что (a,b) > (c,d) « a + d > b + c. Докажите, что отношение монотонно относительно данного действия. Докажите, что отношение в этом примере является отношением линейного порядка.
18. На К = 
заданы две операции, согласно которым 
и 
. Докажите, что К является кольцом. Выясните свойства операции умножения.
19. На К = 
заданы две операции, согласно которым 
и 
. Докажите, что К кольцо с делителями нуля.
Самостоятельная работа
1. Выясните свойства операции, заданной на множестве М = {(n, x)| nÎN, xÎ{0,1}}, если:
а) (n, x) (m, y) = 
| б) (n, x) (m, y) = 
|
2. Выясните свойства операции на N 2, если:
| а) (x1, y1) (x2, y2) = (HOD(x1, x2), HOK(y1, y2)); | б) (x1, y1) (x2, y2) = (x1 + x2, y1y2). |
3. Выясните свойства операции, заданной на множестве Z 3, согласно которой (x1, x2, x3)(y1, y2, y3) = (x1 + 
y1, x2 + y2, x3 + y3).
4. Выяснить согласованно (монотонно, стабильно) ли данное отношение с данной операцией (операция и отношение заданы на Z): a b – есть остаток от деления на 3 обычной суммы чисел a + b, (a, b)Î « (a - b) 3.
5. На алгебраической системе из практического задания 12 введено отношение , согласно которому (a1,m1) (a2,m2) « a1m2 = a2m1. Выясните, является ли оно монотонным относительно каждой из операций.
6. На множестве действительных чисел заданы две операции: a b = max{a,b}, a*b = min{a,b}. Докажите, что , * взаимно дистрибутивны и дистрибутивны относительно себя.
7. На множестве N заданы две операции: a b = max{a,b}, a*b = min{a,b}. Выясните свойства этих операций, в частности, выясните относительно какой из этих операций есть нейтральный элемент и относительно какой есть аннулирующий элемент (элемент 
называется аннулирующим, если ("х) 
).