Практические задания


Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 888


<== предыдущая страница | Следующая страница ==>

 

1. Являются ли операциями на множестве натуральных чисел следующие отношения между N2 и N:

а) ; в) ; д) ; б) , где [z] – целая часть числа z; г) ; е) ; ж) .

В тех случаях, когда отношения являются бинарными алгебраическими операциями на N, обозначив их через перейдите к принятой для операции записи.

2. Определите являются ли действия умножения, деления, сложения и вычитания чисел алгебраическими операциями в следующих числовых множествах: а) множество всех натуральных чисел; б) множество N È {0}; в) {2n + 1| nÎZ}; г) Z; д) Q; е) R.

3. Является ли действие *, определенное на множестве М, алгебраической операцией, если:

а) * - сложение, М = {x | xÎZ Ù x < 0}; б) * - вычитание, М = Z; в) , M = N; г) * - умножение чисел, M = {5n + 1| nÎN}.

4. Какие из следующих алгебраических операций на множестве рациональных чисел являются коммутативными: а) сложение; б) умножение; в) деление; г) вычитание; д) операция *, задаваемая формулой х*у = х + 2у; е) операция *, задаваемая формулой ?

5. Какие из следующих операций на множестве целых чисел ассоциативны: а) сложение; б) вычитание; в) умножение; г) деление; д) х*у = 3х + 2у; е) ?

6. Выясните свойства действий пересечения и объединения множеств на множестве всех подмножеств некоторого непустого множества.

7. Выясните свойства разности множеств на множестве из задания 6.

8. Выясните свойства операции – симметрической разности: (X \ Y) È (Y \ X) на множестве задания 6.

9. Выясните свойства операции , заданной на множестве М = , согласно которой .

10. Выясните свойства операций, заданных в задании 1.

11. Выясните является ли отношение монотонным относительно операции (операция и отношение заданы на N) если:

а) a b = HOD(a,b), (x, y « x < y; б) a b = HOK(a,b), (x, y « x < y; в) a b = a + b, (x, y « (x + y) 2; г) a b = a × b, (x, y « x £ y; д) a b = a b, (x, y « HOD(x, y) = 1; е) a b = | a – b | + 1, (x, y « HOD(x, y) > 1.

12. Выясните свойства операций и связь между ними, если (a1,m1) Å (a2,m2) = (a1m2 + a2m1, m1m2), (a1,m1) (a2,m2) = (a1a2, m1m2) и операции заданы на множестве M = {(a,m)| aÎZ, mÎN}.

13. Убедитесь, что алгебраической операцией является следующее отношение между множествами М 2 и М, где М = , n Î N, (((i1, i2, …, in), (j1, j2, …, jn)), (k1, k2, …, kn)) Î « ka = jia, a = . Упростите запись, приняв (i1, i2,…, in) = и обозначив отношение через точку.

14. Докажите, что операция из задания 13 обладает свойствами ассоциативности, обратимости, но не коммутативности. Найдите нейтральный элемент.

15. Составьте таблицу сложения, определенную на множестве М = , согласно которому , где s – остаток от деления i + k на 5. Выясните свойства этой операции.

16. Составьте таблицы сложения и умножения, определенные на множестве М = , следующим образом: , где k – остаток от деления i + j на 3,

, где k – остаток от деления i · j на 3.

Выясните свойства этих действий и докажите, что умножение дистрибутивно относительно сложения.

17. На множестве М = {(a,b)| aÎN, bÎN, a > b} заданы: операция , согласно которой (a,b) (c,d) = (ac + bd, ad + bc) и отношение >, такое, что (a,b) > (c,d) « a + d > b + c. Докажите, что отношение монотонно относительно данного действия. Докажите, что отношение в этом примере является отношением линейного порядка.

18. На К = заданы две операции, согласно которым и . Докажите, что К является кольцом. Выясните свойства операции умножения.

19. На К = заданы две операции, согласно которым и . Докажите, что К кольцо с делителями нуля.

 

Самостоятельная работа

1. Выясните свойства операции, заданной на множестве М = {(n, x)| nÎN, xÎ{0,1}}, если:

а) (n, x) (m, y) = б) (n, x) (m, y) =

2. Выясните свойства операции на N 2, если:

а) (x1, y1) (x2, y2) = (HOD(x1, x2), HOK(y1, y2)); б) (x1, y1) (x2, y2) = (x1 + x2, y1y2).

3. Выясните свойства операции, заданной на множестве Z 3, согласно которой (x1, x2, x3)(y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3).

4. Выяснить согласованно (монотонно, стабильно) ли данное отношение с данной операцией (операция и отношение заданы на Z): a b – есть остаток от деления на 3 обычной суммы чисел a + b, (a, b « (a - b) 3.

5. На алгебраической системе из практического задания 12 введено отношение , согласно которому (a1,m1) (a2,m2) « a1m2 = a2m1. Выясните, является ли оно монотонным относительно каждой из операций.

6. На множестве действительных чисел заданы две операции: a b = max{a,b}, a*b = min{a,b}. Докажите, что , * взаимно дистрибутивны и дистрибутивны относительно себя.

7. На множестве N заданы две операции: a b = max{a,b}, a*b = min{a,b}. Выясните свойства этих операций, в частности, выясните относительно какой из этих операций есть нейтральный элемент и относительно какой есть аннулирующий элемент (элемент называется аннулирующим, если ("х) ).


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.035 сек.)