Задачи повышенной трудности


Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 589


<== предыдущая страница | Следующая страница ==>

 

1. Пусть а × а = е для любого элемента а мультипликативной группы G. Докажите, что группа G является абелевой.

2. Докажите, что если элемент а перестановочен с элементами b и с этого кольца, то он перестановочен и с элементами b + с, .

3. Докажите, что в кольце с единицей коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.

 

Тема 11. Натуральные числа. Метод математической индукции

N – множество натуральных чисел, называется также натуральным рядом.

1 – единица – элемент множества N; +, - бинарные операции в N.

 

Аксиомы теории натуральных чисел.

 

№1. 1 Î N Ù ("a)("b) (a + b ¹1).

№2. (("a)($b) (b = a + 1)) Ù ("c) (c = a + 1 ® c = b).

№3. ("a)("b) (a + 1 = b + 1 ® a = b).

№4. ("a)("b) (a + (b + 1) = (a + b) + 1).

№5. ("a) (a × 1 = a).

№6. ("a)("b) (a (b + 1) = ab + a).

№7. Пусть M Ì N, 1 Î M, ("a) (a Î M ® a + 1 Î M). Тогда M = N.

 

Метод математической индукции заключается в следующем:

 

Пусть U(n) – некоторое утверждение сформулированное для всех натуральных чисел. Если U(1) – справедливо (база индукции) и из предположения, что U(n) – справедливо (индуктивное предположение) следует справедливость U(n+1) (индуктивный переход), то утверждение U(n) считается доказанным.

Ортодоксальность метода легко доказывается с помощью аксиомы индукции (№7).

В некоторых случаях может быть иной база индукции: справедливость U(n0), n0>1; и иным индуктивное предположение: предполагается справедливость утверждения для всех натуральных чисел, не превосходящих (или меньших) n.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.036 сек.)