|
|||||
Задачи повышенной трудностиДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1571
1. Пусть а × а = е для любого элемента а мультипликативной группы G. Докажите, что группа G является абелевой. 2. Докажите, что если элемент а перестановочен с элементами b и с этого кольца, то он перестановочен и с элементами b + с, bс. 3. Докажите, что в кольце с единицей коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
Тема 11. Натуральные числа. Метод математической индукции N – множество натуральных чисел, называется также натуральным рядом. 1 – единица – элемент множества N; +, - бинарные операции в N.
Аксиомы теории натуральных чисел.
№1. 1 Î N Ù ("a)("b) (a + b ¹1). №2. (("a)($b) (b = a + 1)) Ù ("c) (c = a + 1 ® c = b). №3. ("a)("b) (a + 1 = b + 1 ® a = b). №4. ("a)("b) (a + (b + 1) = (a + b) + 1). №5. ("a) (a × 1 = a). №6. ("a)("b) (a (b + 1) = ab + a). №7. Пусть M Ì N, 1 Î M, ("a) (a Î M ® a + 1 Î M). Тогда M = N.
Метод математической индукции заключается в следующем:
Пусть U(n) – некоторое утверждение сформулированное для всех натуральных чисел. Если U(1) – справедливо (база индукции) и из предположения, что U(n) – справедливо (индуктивное предположение) следует справедливость U(n+1) (индуктивный переход), то утверждение U(n) считается доказанным. Ортодоксальность метода легко доказывается с помощью аксиомы индукции (№7). В некоторых случаях может быть иной база индукции: справедливость U(n0), n0>1; и иным индуктивное предположение: предполагается справедливость утверждения для всех натуральных чисел, не превосходящих (или меньших) n.
|
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.047 сек.) |