|
||||||||||||||||||||
Практические заданияДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 806
1. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c справедливы утверждения:
2. Докажите, что 3. Докажите, что 4. Докажите равенство 5. Докажите равенство 6. Докажите равенство 7. Докажите равенство 8. Докажите равенство 9. Докажите, что 10. Последовательность 11. Докажите справедливость равенств:
12. Докажите, что для всех натуральных n справедливы утверждения:
13. Дано: 14. Дано: 15. Дано: 16. Докажите неравенства:
17. Докажите, что n прямых лежащих в одной плоскости и имеющих общую точку, делят плоскость на 2n частей. 18. Докажите, что n плоскостей, из которых каждые три пересекаются, и никакие четыре не имеют общей точки, разбивают пространство на 19. Докажите, что n окружностей, проведенных в одной плоскости так, что каждые две из них пересекаются в двух точках, и никакие три не имеют общей точки, разбивают плоскость на 20. Докажите, что сторона правильного многоугольника, имеющего 21. Докажите, что если 22. Докажите неравенство
23. Докажите, что 24. Числа последовательности 25. Пусть члены последовательности связаны зависимостью 26. Докажите тождество: 27. Последовательность Фибоначчи определяется условиями:
28. Последовательность задана условием: 29. Найдите ошибки в следующих рассуждениях: а) Всякое натуральное число равно следующему за ним натуральному числу. В самом деле, предположим, что k = k + 1 (I) и докажем, что k + 1 = k + 2 (II). Прибавляя к каждой части равенства (I) по единице, мы получим равенство (II). Мы показали, что если утверждение справедливо для n = k, то оно справедливо и для n = k + 1. Утверждение доказано. б) При любом натуральном n справедливо неравенство 30. Докажите, что 31. Докажите, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство
Самостоятельная работа
1. Докажите, что 2. Дано 3. Дано 4. Докажите неравенства:
5. Докажите формулу: 6. Докажите, что если a > b > 0, то 7. Докажите, что если a > 0, b > 0, то 8. Докажите, что 9. Числа последовательности 10. Пары чисел 11. Докажите тождества:
12. Последовательность Фибоначчи определяется условиями:
13. Последовательность задана условием: 14. Докажите, что для всех n Î N справедливы следующие неравенства: а) 15. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Если на свете есть хотя бы один блондин, то все люди блондины. В самом деле, для n = 1 утверждение справедливо, так как по условию есть блондин. Допустим, что любая группа численностью не превышающей k человек состоит из одних блондинов. Рассмотрим теперь произвольную группу из k + 1 человек. Разобьем ее на две произвольные части численностью a и b человек в каждой. Ясно, что a £ k и b £ k. На эти группы распространяется индуктивное предположение. Следовательно, в каждой из них – одни блондины. Поэтому рассматриваемая группа состоит из одних блондинов. Итак, утверждение справедливо для n = 1; из предположения о справедливости для n £ k следует справедливость его для n = k + 1. Утверждение доказано. 16. Докажите тождество 17. На сколько частей делят плоскость n прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке? 18. Докажите: 19. Докажите, что при всяком натуральном n число 20. Докажите, что 21. Докажите, что 22. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Все числа равны между собой. В самом деле, при n = 1 утверждение справедливо: число равно самому себе. Допустим, что утверждение справедливо для n = k, то есть любые k чисел равны между собой. Рассмотрим теперь произвольное множество из k + 1 чисел. Перенумеруем все эти числа номерами 1, 2, …, k + 1. Первые k чисел равны между собой и поэтому равны первому числу. Исключим второе число. Тогда оставшиеся k чисел, среди которых есть и (k + 1)-е число, равны друг другу и равны первому числу. Утверждение, таким образом, справедливо и для n = k + 1. Итак, утверждение справедливо для n = 1 и из предположения о его справедливости для n = k выведена его справедливость для n = k + 1. Утверждение доказано.
|
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.06 сек.) |