 |
Практические задания
Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1578
|
|
1. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c справедливы утверждения:
| а) a + (b + c) = (a + b) + c; б) a (b + c) = ab + ac; в) (a + b)c = ac + bc; г) a + 1 = 1 + a; д) a + b = b + a; | е) a × 1 = 1 × a; ж) ab = ba; з) a(b × 1) = (ab) ×1; и) a(bc) = (ab)c; | к) a ¹ a + 1; л) a ¹ a + b; м) a + u = b + u « a = b; н) au = bu « a = b. |
2. Докажите, что 
.
3. Докажите, что 
.
4. Докажите равенство 
.
5. Докажите равенство 
.
6. Докажите равенство 
.
7. Докажите равенство 
.
8. Докажите равенство 
.
9. Докажите, что 
делится на 19 при любом натуральном n.
10. Последовательность 
составляется по следующему закону: первые два числа 
даны; каждое же 
. Докажите, что 
.
11. Докажите справедливость равенств:
а)  ;
б)  ;
в)  ;
г)  ;
| д)  ;
е)  ;
ж)  ;
з)  .
|
12. Докажите, что для всех натуральных n справедливы утверждения:
а)  кратно 6;
б)  кратно 9;
в)  кратно 4;
| г)  кратно 19;
д)  кратно 17;
е)  кратно 27.
|
13. Дано: 
. Докажите, что 
, n Î N.
14. Дано: 
, 
. Докажите, что 
, n Î N.
15. Дано: 
. Докажите, что 
, n Î N.
16. Докажите неравенства:
а)  при n Î N;
б)  при n Î N;
| в)  при n Î N, n > 2.
|
17. Докажите, что n прямых лежащих в одной плоскости и имеющих общую точку, делят плоскость на 2n частей.
18. Докажите, что n плоскостей, из которых каждые три пересекаются, и никакие четыре не имеют общей точки, разбивают пространство на 
частей.
19. Докажите, что n окружностей, проведенных в одной плоскости так, что каждые две из них пересекаются в двух точках, и никакие три не имеют общей точки, разбивают плоскость на 
частей.
20. Докажите, что сторона правильного многоугольника, имеющего 
сторон, выражается через радиус R описанной около него окружности формулой 
.
21. Докажите, что если 
, 
, то 
.
22. Докажите неравенство
а) 
| б) 
|
23. Докажите, что 
24. Числа последовательности 
определяются следующими условиями 
. Докажите, что 
.
25. Пусть члены последовательности связаны зависимостью 
. Докажите, что если 
, то 
.
26. Докажите тождество: 
.
27. Последовательность Фибоначчи определяется условиями: 
. Докажите следующие соотношения:
а) 
б) 
| в) 
|
28. Последовательность задана условием: 
. Докажите, что для всех n Î N имеет место неравенство 
.
29. Найдите ошибки в следующих рассуждениях:
а) Всякое натуральное число равно следующему за ним натуральному числу. В самом деле, предположим, что k = k + 1 (I) и докажем, что k + 1 = k + 2 (II). Прибавляя к каждой части равенства (I) по единице, мы получим равенство (II). Мы показали, что если утверждение справедливо для n = k, то оно справедливо и для n = k + 1. Утверждение доказано.
б) При любом натуральном n справедливо неравенство 
. В самом деле, допустим, что неравенство справедливо при n = k, т.е. 
(I) и докажем, что оно справедливо для n = k + 1. Ясно, что 
(II) при любом натуральном k. Складывая неравенства (I) и (II), получаем 
, т.е. 
, чем утверждение доказано.
30. Докажите, что 
.
31. Докажите, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство 
.
Самостоятельная работа
1. Докажите, что 
.
2. Дано 
. Докажите, что 
.
3. Дано 
. Докажите, что 
.
4. Докажите неравенства:
а) 
| б) 
|
5. Докажите формулу: 
6. Докажите, что если a > b > 0, то 
7. Докажите, что если a > 0, b > 0, то 
8. Докажите, что 
9. Числа последовательности определяются следующими условиями 
. Докажите, что 
.
10. Пары чисел 
образуются по закону 
. Докажите, что 
11. Докажите тождества:
а) 
| б)  .
|
12. Последовательность Фибоначчи определяется условиями: . Докажите следующие соотношения:
а) 
б) 
| в) 
|
13. Последовательность задана условием: 
. Докажите, что для всех n Î N имеет место неравенство 
.
14. Докажите, что для всех n Î N справедливы следующие неравенства:
а) 
; б) 
; в) 
.
15. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Если на свете есть хотя бы один блондин, то все люди блондины. В самом деле, для n = 1 утверждение справедливо, так как по условию есть блондин. Допустим, что любая группа численностью не превышающей k человек состоит из одних блондинов. Рассмотрим теперь произвольную группу из k + 1 человек. Разобьем ее на две произвольные части численностью a и b человек в каждой. Ясно, что a £ k и b £ k. На эти группы распространяется индуктивное предположение. Следовательно, в каждой из них – одни блондины. Поэтому рассматриваемая группа состоит из одних блондинов. Итак, утверждение справедливо для n = 1; из предположения о справедливости для n £ k следует справедливость его для n = k + 1. Утверждение доказано.
16. Докажите тождество 
.
17. На сколько частей делят плоскость n прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке?
18. Докажите: 
где a > -1, a ¹ 0, n – натуральное число, большее единицы.
19. Докажите, что при всяком натуральном n число 
делится на 84.
20. Докажите, что 
.
21. Докажите, что 
справедливо для всех натуральных n.
22. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Все числа равны между собой. В самом деле, при n = 1 утверждение справедливо: число равно самому себе. Допустим, что утверждение справедливо для n = k, то есть любые k чисел равны между собой. Рассмотрим теперь произвольное множество из k + 1 чисел. Перенумеруем все эти числа номерами 1, 2, …, k + 1. Первые k чисел равны между собой и поэтому равны первому числу. Исключим второе число. Тогда оставшиеся k чисел, среди которых есть и (k + 1)-е число, равны друг другу и равны первому числу. Утверждение, таким образом, справедливо и для n = k + 1. Итак, утверждение справедливо для n = 1 и из предположения о его справедливости для n = k выведена его справедливость для n = k + 1. Утверждение доказано.