Практические задания


Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 876


<== предыдущая страница | Следующая страница ==>

 

1. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c справедливы утверждения:

а) a + (b + c) = (a + b) + c; б) a (b + c) = ab + ac; в) (a + b)c = ac + bc; г) a + 1 = 1 + a; д) a + b = b + a; е) a × 1 = 1 × a; ж) ab = ba; з) a(b × 1) = (ab) ×1; и) a(bc) = (ab)c; к) a ¹ a + 1; л) a ¹ a + b; м) a + u = b + u « a = b; н) au = bu « a = b.  

2. Докажите, что .

3. Докажите, что .

4. Докажите равенство .

5. Докажите равенство .

6. Докажите равенство .

7. Докажите равенство .

8. Докажите равенство .

9. Докажите, что делится на 19 при любом натуральном n.

10. Последовательность составляется по следующему закону: первые два числа даны; каждое же . Докажите, что .

11. Докажите справедливость равенств:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) .

12. Докажите, что для всех натуральных n справедливы утверждения:

а) кратно 6; б) кратно 9; в) кратно 4; г) кратно 19; д) кратно 17; е) кратно 27.

13. Дано: . Докажите, что , n Î N.

14. Дано: , . Докажите, что , n Î N.

15. Дано: . Докажите, что , n Î N.

16. Докажите неравенства:

а) при n Î N; б) при n Î N; в) при n Î N, n > 2.

17. Докажите, что n прямых лежащих в одной плоскости и имеющих общую точку, делят плоскость на 2n частей.

18. Докажите, что n плоскостей, из которых каждые три пересекаются, и никакие четыре не имеют общей точки, разбивают пространство на частей.

19. Докажите, что n окружностей, проведенных в одной плоскости так, что каждые две из них пересекаются в двух точках, и никакие три не имеют общей точки, разбивают плоскость на частей.

20. Докажите, что сторона правильного многоугольника, имеющего сторон, выражается через радиус R описанной около него окружности формулой .

21. Докажите, что если , , то .

22. Докажите неравенство

а) б)

23. Докажите, что

24. Числа последовательности определяются следующими условиями . Докажите, что .

25. Пусть члены последовательности связаны зависимостью . Докажите, что если , то .

26. Докажите тождество: .

27. Последовательность Фибоначчи определяется условиями: . Докажите следующие соотношения:

а) б) в)

28. Последовательность задана условием: . Докажите, что для всех n Î N имеет место неравенство .

29. Найдите ошибки в следующих рассуждениях:

а) Всякое натуральное число равно следующему за ним натуральному числу. В самом деле, предположим, что k = k + 1 (I) и докажем, что k + 1 = k + 2 (II). Прибавляя к каждой части равенства (I) по единице, мы получим равенство (II). Мы показали, что если утверждение справедливо для n = k, то оно справедливо и для n = k + 1. Утверждение доказано.

б) При любом натуральном n справедливо неравенство . В самом деле, допустим, что неравенство справедливо при n = k, т.е. (I) и докажем, что оно справедливо для n = k + 1. Ясно, что (II) при любом натуральном k. Складывая неравенства (I) и (II), получаем , т.е. , чем утверждение доказано.

30. Докажите, что .

31. Докажите, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство .

 

Самостоятельная работа

 

1. Докажите, что .

2. Дано . Докажите, что .

3. Дано . Докажите, что .

4. Докажите неравенства:

а) б)

5. Докажите формулу:

6. Докажите, что если a > b > 0, то

7. Докажите, что если a > 0, b > 0, то

8. Докажите, что

9. Числа последовательности определяются следующими условиями . Докажите, что .

10. Пары чисел образуются по закону . Докажите, что

11. Докажите тождества:

а) б) .

12. Последовательность Фибоначчи определяется условиями: . Докажите следующие соотношения:

а) б) в)

13. Последовательность задана условием: . Докажите, что для всех n Î N имеет место неравенство .

14. Докажите, что для всех n Î N справедливы следующие неравенства:

а) ; б) ; в) .

15. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Если на свете есть хотя бы один блондин, то все люди блондины. В самом деле, для n = 1 утверждение справедливо, так как по условию есть блондин. Допустим, что любая группа численностью не превышающей k человек состоит из одних блондинов. Рассмотрим теперь произвольную группу из k + 1 человек. Разобьем ее на две произвольные части численностью a и b человек в каждой. Ясно, что a £ k и b £ k. На эти группы распространяется индуктивное предположение. Следовательно, в каждой из них – одни блондины. Поэтому рассматриваемая группа состоит из одних блондинов. Итак, утверждение справедливо для n = 1; из предположения о справедливости для n £ k следует справедливость его для n = k + 1. Утверждение доказано.

16. Докажите тождество .

17. На сколько частей делят плоскость n прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке?

18. Докажите: где a > -1, a ¹ 0, n – натуральное число, большее единицы.

19. Докажите, что при всяком натуральном n число делится на 84.

20. Докажите, что .

21. Докажите, что справедливо для всех натуральных n.

22. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Все числа равны между собой. В самом деле, при n = 1 утверждение справедливо: число равно самому себе. Допустим, что утверждение справедливо для n = k, то есть любые k чисел равны между собой. Рассмотрим теперь произвольное множество из k + 1 чисел. Перенумеруем все эти числа номерами 1, 2, …, k + 1. Первые k чисел равны между собой и поэтому равны первому числу. Исключим второе число. Тогда оставшиеся k чисел, среди которых есть и (k + 1)-е число, равны друг другу и равны первому числу. Утверждение, таким образом, справедливо и для n = k + 1. Итак, утверждение справедливо для n = 1 и из предположения о его справедливости для n = k выведена его справедливость для n = k + 1. Утверждение доказано.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |

При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.086 сек.)