Строчечный ранг матрицы

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1654

Множество , где Р – произвольное поле называется n-мерным арифметическим пространством, а его элементы векторами, если в определена операция сложения , и умножение вектора на скаляр : .

Пусть дана система векторов . Линейной комбинацией этой системы с коэффициентами называется сумма .

Комбинация называется тривиальной, если .

В этом случае .

Комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Система векторов называется линейно зависимой, если найдется нетривиальная комбинация этой системы, равная .

Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация этой системы равна нулю (то есть, если система линейно независима и , то ).

Известны следующие свойства линейно зависимых и линейно независимых систем:

1) система, содержащая линейно зависима;

2) система, содержащая два одинаковых вектора, линейно зависима;

3) система, содержащая два коллинеарных вектора, линейно зависима;

4) система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы линейно выражается через остальные;

5) надсистема линейно зависимой системы линейно зависима;

6) непустая подсистема линейно независимой системы линейно независима;

7) одноэлементная система линейно зависима тогда и только тогда, когда ее элемент равен .

Таблица вида , где , называется матрицей размера m ´ n.

Матрицу можно рассматривать как совокупность m векторов, записанных один под другим:

Подсистема системы векторов (системы строк матрицы) называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима, а всякая надсистема, получающаяся присоединением к ней других векторов системы (других строк матрицы) является линейно зависимой.

Количество векторов в максимальной линейно независимой системе называется рангом данной системы векторов (строчечным рангом матрицы).

Обозначив очевидную связь между матрицей и системой векторов, дальнейшее изложение будем вести в "матричных" терминах.

Следующие преобразования матрицы, называемые элементарными, не меняют ее ранга:

П1. Перестановка двух строк матрицы.

П2. Умножение строки матрицы на элемент поля ¹ 0.

П3. Прибавление к некоторой строке матрицы любой другой, умноженной на любой элемент поля.

П4. Удаление строки , то есть строки, состоящей из n нулей (если матрица не состоит исключительно из одной такой строки).

Первый ненулевой коэффициент матрицы называется ведущим коэффициентом строки.

Матрица называется ступенчатой, если ведущий коэффициент следующей строки (начиная со второй) находится в столбце с большим номером, чем ведущий коэффициент предыдущей строки.

В частности это означает, что в ступенчатой матрице нет строки .

Назовем матрицу почти ступенчатой, если последняя ее строка и после удаления этой строки матрица становится ступенчатой.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству строк в ней.

Для того чтобы выяснить каков строчечный ранг произвольной матрицы нужно с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатой.

Для того чтобы выяснить, каков ранг данной системы векторов следует свести их в матрицу и найти строчечный ранг получившейся матрицы.

В практических задачах, говоря о ранге матрицы, имеем в виду строчечный ранг матрицы.