Задачи повышенной трудности

Определителем (или детерминантом) n-го порядка из n² элементов матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и , где t – число инверсий в подстановке, составленной из индексов элементов, вошедших в произведение, т.е.

t – число инверсий в подстановке .

Так как произведение не меняется от перестановки сомножителей – элементов поля, а число инверсий не меняется при транспозициях, то определение можно упростить:

s – число инверсий в подстановке .

Определители обладают рядом замечательных свойств:

1) определители данной матрицы A и транспонированной равны;

2) при перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак;

3) определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки, равен нулю;

4) если все элементы какой-либо строки матрицы умножить на скаляр, то на этот скаляр умножится и определитель матрицы;

5) если каждый элемент i-ой строки квадратной матрицы есть сумма m слагаемых, то определитель этой матрицы равен сумме m определителей, в которых все строки кроме i-ой те же, что и у данной матрицы, а в k-ом определителе i-я строка составлена из k-х слагаемых i-ой строки исходной матрицы, ;

6) если к какой-нибудь строке матрицы определителя прибавить другую строку матрицы, умноженную на произвольный скаляр (элемент поля Р), то определитель матрицы не измениться;

7) если какая-нибудь строка квадратной матрицы есть линейная комбинация других строк (всех других строк), то определитель матрицы равен нулю;

8) если в выше приведенных формулировках слово "строка" заменить на слово "столбец", то получатся верные утверждения.

Определитель матрицы, полученный из данной квадратной матрицы вычеркиванием ее i-ой строки и k-го столбца, называется минором элемента и обозначается .

Алгебраическим дополнением элемента называется .

Таким образом,

Определитель равен для каждого ; определитель равен для каждого . (В первом случае говорят о разложении определителя по элементам i-ой строки, а во втором – о разложении определителя по элементам k-го столбца.)

Если в определителе n-го порядка какой-нибудь из рядов (строка или столбец) имеет только один ненулевой элемент , то данный определитель равен , т.е. определителю (n – 1)-го порядка.

Используя свойства определителя, всегда можно добиться того, что в избранной строке будет получено максимальное количество нулей (либо все элементы будут равны нулю, либо все кроме одного).

Таким образом, вычисление определителя n-го порядка можно свести к вычислению одного определителя 2-го порядка.