Двойственная задача и экономическая интерпретация переменных двойственной задачи

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1717

Составим математическую модель двойственной задачи: минимизировать Z = 180y₁ + 210y₂ + 800y₃ при ограничениях

При решении задачи «вручную» симплексным методом надо перейти к канонической форме, добавляя в каждое ограничение неотрицательную дополнительную переменную.

Запишем канонические формы прямой и двойственной задач в табл. 11.

Таблица 11

Прямая задача	Двойственная задача
Максимизировать при ограничениях	Минимизировать при ограничениях

В канонической форме прямой задачи переменные х₁, х₂, х₃, х₄ являются основными, а переменные х₅, х₆, х₇ – дополнительными. В канонической форме двойственной задачи основными переменными являются у₁, у₂, у₃, а переменные у₄, у₅, у₆, у₇ – дополнительными.

Между переменными прямой и двойственной задачами существует взаимно-однозначное соответствие, которое представлено в табл. 12.

Таблица 12

Учитывая это соответствие, выпишем из последней строки симплекс-таблицы, содержащей оптимальное решение прямой задачи (табл. 10), координаты искомого вектора двойственной задачи Y^*=(0; 3/2; 9/4; 0; 0; 1/2; 5).

При этом оптимальном плане первое ограничение прямой задачи выполняется как строгое неравенство: 95 + 2∙0 + 0 = 95 < 180. Это означает, что расход ресурса Р₁ меньше его запаса на величину, равную 85, то есть ресурс Р₁ – избыточный. Именно поэтому, в оптимальном плане Y^* двойственная оценка этого ресурса y₁^* равна 0. А оценки ресурсов Р₂ и Р₃ выражаются положительными числами у₂^* = 3/2, у₃^* = 9/4, это свидетельствует о дефицитности этих ресурсов, они при оптимальном плане прямой задачи используются полностью (х₆^* = 0; х₇^* = 0).

Действительно, ограничения по этим ресурсам в прямой задаче выполняются как строгие равенства:

210 + 3∙0 + 2∙0 = 210,

4∙95 +2∙210 + 4∙0 = 800.

Поскольку 9/4 > 3/2, ресурс Р₃ считается более дефицитным, чем ресурс Р₂.