 |
Системы счисления
Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1809
|
|
Информация в ЭВМ кодируется в двоичной системе счисления.
Система счисления – это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Римская система счисления является непозиционной. Значение цифры X в числе XXI остается неизменным при вариации ее положения в числе (значение в любой позиции равно десяти).
В позиционных системах счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе. Десятичная система счисления является позиционной. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.
Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения
700+50+7+0,7 = 7*102 + 5*101 +7*100 + 7*10-1
Здесь 10 служит основой системы исчисления, а показатель степени - это номер позиции цифры в записи числа (нумерация ведется слева на право, начиная с нуля).
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
Основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
В десятичной систем счисления используется десять цифр: 0, 1, 2,..., 9; в двоичной — две: 0 и 1; восьмеричной — восемь: 0, 1,2,..., 7. В общем случае, в системе счисления с основанием q используются цифры от 0 до (q – 1).
За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения
an-1qn-1 + an-2qn-2 + ... + a1q1+ a0q0 +a-1q-1 + ... + a-mq-m,
где ai – цифры системы счисления; n и m – число целых и дробных разрядов соответственно.
Например:
1011,12 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*2 0 +1*2 -1
276,528 = 2*82 + 7*81 + 6*8 0 + 5*8 -1 + 2*8 -2
В ВТ применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы и др. Для обозначения используемой системы счисления числа заключают в скобки и индексом указывают основание:
(15)10;(1011)2;(735)8;(1ЕА9F)16.
Иногда скобки опускают и оставляют только индекс:
1510;10112;7358;1ЕА9F16.
В ЭВМ используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:
* для ее реализации нужны технические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток - нет тока, намагничен - ненамагничен и т.п.), а не с десятью, например, как в десятичной - и это намного проще;
* представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
* возможно применение аппарата алгебры логики для выполнения логических преобразований информации;
* двоичная арифметика намного проще десятичной (двоичные таблицы сложения и умножения предельно просты):
Таблица 1
| Двоичная таблица сложения | Двоичная таблица умножения | ||
| 0+0=0 | 1+0=1 | 0*0=0 | 1*0=0 |
| 0+1=1 | 1+1=10 | 0*1=0 | 1*1=1 |
0111 7
+ 0110 + 6
1101 13
Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи числа.
Для сокращения записиадресов и содержимого оперативной памяти компьютера используют шестнадцатеричную и восьмеричную системы исчисления: поскольку 23=8, а 24=16, то каждые три двоичных разряда (триада) числа образуют один восьмеричный, а каждых четыре двоичных разряда (тетрада) - один шестнадцатеричный.
Ниже, в таблице 2 приведены первые 16 натуральных чисел записанных в десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах исчисления.
| Системы счисления | |||
| Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
| А | |||
| В | |||
| С | |||
| Е | |||
| F |
В программировании актуальной является проблема перевода чисел из одной позиционной системы исчисления в другую.