Плоская система произвольно расположенных сил

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1615

Пример 1. На двухопорную балку, имеющую в точке А шарнирно-неподвижную, а в точке В шарнирно-подвижную опору, действуют две нагрузки (рис. 1, а): в точке D –сосредоточенная нагрузка F = 8 кН, а на участке СВ – равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м. Определить реакции опор.

Рис. 1

Решение:

1. В этой задаче, кроме сосредоточенной силы F, на участке СВ действует равномерно распределенная сила, интенсивность которой q. Полная величина этой нагрузки (ее равнодействующая) равна q·СB и приложена в точке О посредине участка СВ (рис. 1, б), т.е. СО=СВ=СВ/2.

2. Реакция подвижного шарнира направлена вертикально (перпендикулярно опорной поверхности). Следовательно, и реакция неподвижного шарнира направлена вертикально. Таким образом, на балку действует система параллельных сил (см. рис. 1, б)

3. Cоставим два уравнения моментов относительно точек А и В:

-q·СВ·АО+R_B·АВ-F·AD=0 (1)

-R_А ·ВА+· q ·СВ·ВО-F·BD=0 (2)

4. Из уравнения (1)

Отрицательное значение реакции R_А означает, что она направлена вниз, Ане вверх, как показано на рисунке 1, б. потому что момент силы F относительно опоры В больше, чем момент равномерно распределенной нагрузки.

Из уравнения (2) находим R_В :

Таким образом, реакция шарнира А равна R_А=0,75 кН и направлена вертикально вниз; реакция шарнира В составляет R_В=14,75 кН и направлена вертикально вверх.

5. Для проверки правильности решения можно использовать уравнение проекций на вертикальную ось:

R_А- q ·СВ+ R_В-F=0

-0,75-2 ·3+14,75-8=0

0=0

Следовательно, задача решена верно.

Ответ: R_А=0,75 кН; R_В=14,75 кН

Пример 2. Жестко заделанная у левого конца консольная балка АВ (рис. 2, а) нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q= 5 кН/м, сосредоточенной силой F = 12 кН и моментом М =20 кНм. Определить реакции заделки.

Рис. 2

Решение:

1. На балку действуют три нагрузки: в точке С – вертикальная сосредоточенная сила F, по всей длине балки – равномерно распределенная нагрузка, которую заменим сосредоточенной силой Q = q АВ, приложенной в точке О ( АО=ОВ= = 2м). Правый конец балки нагружен моментом М, действующим против хода часовой стрелки (рис. 2, б).

2. Равновесие балки обеспечивается жесткой заделкой в точке А. Освободив балку от связи, заменим ее действие силой – реакцией связи и реактивным моментом М_А. Но так как реакцию заделки сразу определить нельзя (по тем же причинам, что и направление реакции неподвижного шарнира), заменим ее составляющими и , совместив их с осями x и y (см. рис. 2, б).

3. Составим уравнение равновесия –уравнение проекции на оси x и y и уравнение моментов относительно точки А:

X_A=0 (1)

Y_A- q·AB-F =0 (2)

M_A - q·AB·AO - F·AC + M =0 (3)

4. Из уравнения (1) X_A=0, а это означает, что горизонтальная составляющая реакции заделки равна нулю, так как в данном случае нет усилий, смещающих балку АВ в горизонтальном направлении.

Из уравнения (2)

Y_A= q·AB + F = 5·4+12=32 кН

Выше найдено, что X_A=0; значит реакция заделки перпендикулярна к оси x. Следовательно,

= Y_A = 32 кН.

Из уравнения (3)

M_A = q·AB·AO + F·AC - M = 5·4·2+12·3-20 = 56 кН

Таким образом,

= Y_A = 32 кН и M_A = 56 кН

5. Проверку правильности решения можно произвести при помощи уравнения моментов относительно точки С или В. В любое из них входят обе найденные величины.

Составим уравнение моментов относительно точки В:

M_A + q·AB·ВO + F·ВC - Y_A·АВ + M =0

56+5·4·2+12·1-32·4+20=0

0=0

Следовательно, задача решена верно.

Ответ: = Y_A = 32 кН и M_A = 56 кН