Равновесие пространственной системы сходящихся сил

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1532

Пример 1.Груз, масса которого m=500 кг, подвешен на кронштейне АВСD, состоящем из трех стержней 1,2 и 3. Стержни 1 и 2 образуют в месте соединения прямой угол и расположены в горизонтальной плоскости. Стержень 3 образует с горизонтальной плоскостью угол ά=40⁰ (рис. 1, а).

Определить усилия, вызванные действием груза в стержнях. Соединения стержней между собой и с вертикальной стенкой шарнирные. Весом стержней пренебречь.

Рис. 1

Решение.

1. На точку с кронштейна действует вертикальная нагрузка, равная весу массы груза, поэтому

G =mg=500·9,81 = 4900 Н= 4,9 кН

2. Действие веса G на кронштейн уравновешивается реакциями трех стержней. Известно, что реакции направлены вдоль стержней (так как соединения стержней шарнирные). Нужно определить их модули и направление каждой реакции, т.е. определить, какой из стержней сжат, а какой растянут.

Мысленно разрежем стержни вблизи точки С и изобразим узел С, образуемый соединением трех стержней отдельно (рис. 1, б) вместе с четырьмя действующими на него силами: вертикально вниз действует известная сила G=4,9 кН, а вдоль стержней действуют три реакции: , и . Причем условно считаем, что все стержни растянуты, поэтому на рис. 1, б все реакции направлены от узла С.

3. Расположим оси координат, как показано на рисунке. Замечая, что осью х прямой угол АСВ разделен пополам ( АСО= ВСО=β=45⁰), составим три уравнения равновесия для пространственной системы сходящихся сил:

Т₁cos β+Т₂ cos β +Т₃ cos ά =0; (1)

Т₁ sin β –Т₂ sin β =0; (2)

-Т₃ sin ά –G =0; (3)

4. Решаем полученную систему уравнений.

Из уравнения (3)

Знак «минус» показывает, что реакция направлена в сторону, противоположную той, которая изображена на рисунке. Значит стержень 3 сжат усилием 7,62 кН.

Из уравнения (2) Т₁=Т₂

Из уравнения (1)

Числовые значения реакций и получились положительные, значит стержни 1 и 2 растянуты силами по 4,13 кН.

Ответ: =4,13 кН, =4,13 кН, =-7,62 кН.