|
|||||||||||||||||||
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛАДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1542
Рассмотрим некоторые свойства экспоненциальной функции f (x) = eах. Пусть f(x ) = еax и f(x2) = еах . Тогда f(x ) f(x ) = eax ·еах = e . (33) Известно, что (еах)´ = а·еах, (34) т. е. экспоненциальная функция обладает следующими двумя свойствами: f(x )·f(x ) = f(x + x ), (35) f´(x) = а·еах = a·f x). Теперь рассмотрим функцию: (φ) = cos φ + i sin φ (36) (cos φ + i sin φ ) (cos φ 2 + i sin φ 2) = = cos φ · cos φ 2 + cos φ · i sin φ 2 + i sin φ ·cos φ 2 + i sin φ · i sin φ 2 = = cos(φ + φ 2) + i sin(φ + φ 2). (37) = sin φ + icos φ = i (cos φ + i sin φ). (38) Полагая а = i, можем считать, что функции eiφ и (φ) ведут себя одинаково, т. е. можно считать: eiφ = cos φ + i sin φ (39) Это равенство называется формулой Эйлера[14]. Пользуясь формулой Эйлера, можно представить комплексное число в тригонометрической форме Z = а + i b = |Z| (cos φ + i sin φ) и в показательной форме: Z = |Z| ei argZ = ρeiφ (40) Чтобы по выражению (40) найти на комплексной плоскости точку, соответствующую числу Z, достаточно отложить от начала координат на действительной оси отрезок величиной |Z| и повернуть его вокруг центра координат на угол φ в положительном направлении (рис.9)
0 X
|Z|
Рис. 9 Поэтому множитель eiφ иногда называют оператором поворота. В частности, 1 = е ; i = е ; – 1 = e ; – i = e Аргумент комплексного числа является естественным обобщением знака действительного числа. В самом деле, аргументы положительных и отрицательных чисел равны соответственно 0 и p. Рассмотрим примеры умножения и деления комплексных чисел в показательной форме.
Пример 1. (7e )(0,5e ) = 7· 0,5 = 3,5
Пример 2. (6e ) : (2e ) = e = 3e .
|
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.048 сек.) |