Контрольная работа №1

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 390

В первую контрольную работу включены задачи по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии. По каждому разделу изучаемых тем даются ссылки с указанием страниц. Ссылки даны на несколько учебников, пользоваться можно любым из них. Приведены рекомендации по преодолению наибольших трудностей, которые встречаются при решении задач.

1. При решении задач № 1–60 необходимо использовать знания линейной алгебры [1, гл. 5, п. 2–3].

Для системы линейных уравнений

вычислим определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных [2, гл. 3, п. 1, с. 69–72]:

Так как определитель системы отличен от нуля, то для ее решения можно воспользоваться формулами Крамера [2, гл. 3, п. 2, с. 78–81; 5, с. 138–141]. Получим решение системы:

.

После решения следует сделать проверку, подставив полученные значения x, y, z в каждое уравнение системы.

Для решения системы уравнений ,

у которой число уравнений не равно числу неизвестных, следует применить метод Гаусса [3, гл. 2, п. 7, с. 83–88; 4, с. 23–25; 6, с. 101–104]. Приведем систему к треугольному виду. Умножим 1-е уравнение на (–1) и прибавим его ко 2-му и 3-му уравнениям. Далее умножим 2-е уравнение на 2 и прибавим его к 3-му. Можно записывать только матрицу коэффициентов:

~ ~ .

Последняя матрица соответствует системе двух уравнений с четырьмя неизвестными:

Примем за свободные неизвестные x₃ и x₄ , перенесем их в правую часть уравнений и получим общее решение системы:

Придавая x₃ и x₄разные значения, получим множество решений системы. Например, пусть . Тогда , . Сделаем проверку, система решена верно.

Более полно теория исследования систем m линейных уравнений с n неизвестными изложена в соответствующей литературе [3, гл. 2, п. 7; 5, с. 181–190; 6, с. 97–100].

2. Для решения задач № 61–90 необходимо изучить линейные операции над векторами [3, гл. 2, п. 4, с. 39, задача 4; 6, с. 155–161].

Например, векторы , , образуют базис в трехмерном пространстве, потому что определитель, составленный из их координат: , отличен от нуля. Любой вектор этого пространства можно выразить через данные векторы , , . Разложим вектор в базисе : .

Это равенство векторов равносильно системе трех уравнений с тремя неизвестными :

.

Решая систему по формулам Крамера, найдем , , которые и являются координатами вектора в базисе , то есть .

3. В задачах № 91–120 даны четыре вершины пирамиды, например: , , , . Сделаем чертеж (рис. 1).

В пункте первом нужно найти длину ребра . Ее следует определять как длину вектора [2, с. 90; 5, с. 102; 6, с. 47]. Координаты точек известны: и . Найдем координаты вектора . Тогда его длина

.

При определении угла между ребрами и (пункт 2) нужно воспользоваться понятием скалярного произведения векторов [3, гл. 2, п. 5, п. 3; 2, с. 96; 5, с. 99] и определить угол между векторами и , имеющими общее начало. Например, даны три вершины: , , .

Определим координаты векторов: , .

Косинус угла между векторами

тогда .

Углом между ребром и гранью (пункт 3) является угол между вектором и его проекцией на плоскость (рис. 2). Для его нахождения необходимо изучить тему «Векторное произведение» [3, гл. 2, п. 5].

Угол следует находить через угол , образованный вектором и вектором нормали к грани . Так как вектор перпендикулярен векторам и , то .

Например, даны точки , , , . Найдем координаты векторов , , . Тогда вектор нормали

, а

Следовательно, и .

В пункте 4 при определении площади грани нужно использовать геометрический смысл векторного произведения [1, с. 100; 2, с. 51–52, 3, с. 136; 7, с. 189].

.

В нашем примере , , .

Тогда , а площадь грани ед. кв.

Для определения объема пирамиды (пункт 5) следует изучить тему «Смешанное произведение векторов» [2, гл. 3, п. 3, с. 102–103; 6, с. 52–53; 7, с. 194].

Возьмем векторы, на которых построена пирамида: , , .

Составим смешанное произведение этих векторов:

.

Объем пирамиды, построенный на этих векторах,

, то есть ед. куб.

При решении пунктов 6, 7, 8 задач № 91–120 используются разделы аналитической геометрии. Так, при составлении уравнения прямой используются канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки [2, гл. 4, с. 142; 5, с. 117–119; 6, с. 62; 7, стр. 228].

Например, пусть , , тогда уравнение прямой будет иметь вид

или .

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку , перпендикулярно известному вектору нормали , находим по формуле:

.

Это рассмотрено в [2, с. 130–131; 5, с. 107–111; 7, с. 199, 200, 205]).

При нахождении уравнения плоскости за точку можно взять любую из точек Мы возьмем Вектор нормали найден ранее.

Тогда уравнение плоскости имеет вид

или

Для составления уравнения высоты, опущенной из вершины на грань (рис. 3), необходимо использовать канонические уравнения прямой в пространстве , проходящей через точку , параллельно вектору [3, гл. 4, п. 2, 4].

В нашем случае вместо точки возьмем точку , а вместо возьмем вектор , так как высота параллельна этому вектору.

Уравнение высоты имеет вид:

4. Для решения задач № 131–140 необходимо знать, что работа, совершаемая равнодействующей двух постоянных сил и при перемещении тела на прямолинейном участке , равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения Например, силы и перемещают тело из точки в точку .

Равнодействующая сила , вектор

Вычисляем работу:

5. В задачах № 121–130 момент равнодействующей силы двух сил, приложенных в точке А, относительно точки B , нужно находить как векторное произведение [2], гл. 3, п. 3, с. 96, 100; [6], с. 51–52).

Пусть даны силы , точки и .

Тогда

Определяем момент силы относительно точки B:

Величина (модуль) этого вектора .

Найдем направляющие косинусы вектора :

.

В задачах № 141–145 линейную скорость нужно определять с помощью векторного произведения. Например, задана угловая скорость точки , точка – начало координат. Определяем вектор тогда линейная скорость

При решении задач № 146–150 следует воспользоваться следующей теоремой: для компланарности трех векторов необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю: