Анализ устойчивости двойственных оценок

Двойственные оценки показывают приращение целевой функции, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения задачи: .

В нашей задаче выше установлено, что ресурсы Р₂ и Р₃ являются дефицитными. Каждая дополнительная единица ресурса Р₂ ( ) обеспечит прирост максимального значения целевой функции на величину , а каждая дополнительная единица ресурса Р₃ ( ) обеспечит прирост выручки равный . Отсюда становится понятно, почему ресурс Р₃ считается более дефицитным, по сравнению с ресурсом Р₂, так как он содействует получению большей прибыли от реализации произведенной продукции.

Что же касается избыточного ресурса Р₁, то увеличение его запаса не приводит к росту максимального значения функции, поскольку

.

То есть с помощью двойственных оценок можно определить степень влияния ограничений на значение целевой функции.

Таким образом, если получено оптимальное решение прямой задачи, то можно провести анализ устойчивости двойственных оценок относительно изменений b_i .

Максимальное значение целевой функции при изменении отдельно взятого ресурса изменяется ровно на величину двойственной оценки этого ресурса, поэтому при изменении объема каждого ресурса b_i на величину приращение прибыли составит: .

Но эта формула верна только при достаточно малых изменениях объемов ресурсов по сравнению с исходными .

Следовательно, интерес представляет определение интервалов изменения запасов ресурсов каждого вида, при которых не меняются двойственные оценки , т.е. сохраняется то же оптимальное решение двойственной задачи.

Наиболее компактный способ записи вычислений, производимых симплекс-методом заключается в использовании матриц.

Расширенная матрица нашей задачи имеет вид:

,

где – вектор-столбец свободных членов

Известно, что для нахождения оптимального решения задачи линейной оптимизации, достаточно рассматривать только базисные решения системы линейных уравнений, поэтому выпишем матрицу D из тех столбцов матрицы , которые соответствуют базисным переменным:

D .

Матрица D образована последними тремя столбцами в последней симплексной таблице (табл. 10):

D .

Симплексные таблицы на каждом шаге совершают преобразования однократного замещения одной из базисных переменных, и эти преобразования приводят исходную симплексную форму задачи к конечной, дающей оптимальное решение. Можно показать, что эти преобразования эквивалентны умножению обратной матрицы D на расширенную матрицу :

D * =

.

Отсюда видно, что новый столбец свободных членов получается простым умножением матрицы D на исходный столбец свободных членов B.

Рассмотрим произвольное изменение объемов ресурсов исходной задачи , т.е. измененный вектор-столбец свободных членов будет иметь вид:

При тех же симплексных преобразованиях часть системы, за исключением столбца свободных членов не изменяется. Новое базисное решение остается допустимым, т.е. оптимальным при измененных ресурсах, если все его компоненты не отрицательны.

Итак, условие D определяет область устойчивости двойственных оценок в зависимости от .

Двойственные оценки ресурсов можно использовать, чтобы определить меру влияния изменения запасов ресурсов на величину максимума выпуска продукции, чтобы выявить “узкие” места производства и установить направление мероприятий по изменению ресурсов, обеспечивающих получение наибольшего экономического эффекта. Определим интервалы изменения ресурсов, в которых оптимальный план двойственной задачи не меняется. Такое исследование называется анализом устойчивости двойственных оценок.

Проведем анализ устойчивости двойственных оценок для нашего примера:

1. Составляем матрицу D из элементов столбцов, соответствующих дополнительным переменным табл. 10, определяющей оптимальный план производства:

D .

2. Умножаем матрицу D на вектор ,

где 180, 210, 800 – запасы ресурсов соответственно I, II и III типов, а – предполагаемое изменение соответствующих ресурсов.

Условие D определяет область устойчивости двойственных оценок в зависимости от :

D

(4)

3. Определяем, при каких значениях координаты полученного вектора неотрицательны.

Очевидно, если и , то .Это означает, что если количество ресурсов I типа будет увеличено или даже уменьшено в пределах 85 единиц, то план остается оптимальным планом двойственной задачи

Если и , то

.

Аналогично, если и , то .

Таким образом, если количество ресурсов одного из типов сырья II и III принадлежат соответствующему промежутку:

, ,

, ,

а количество ресурса I вида остается неизменным, то двойственная задача имеет один и тот же оптимальный план . И если предполагаемые изменения ресурсов удовлетворяют неравенствам (4), то найденное оптимальное решение двойственной задачи остается прежним.

Если и изменяются одновременно, то исследования устойчивости двойственных оценок несколько усложняется, так как необходимо определить многогранник решений системы неравенств относительно . Точки этого многогранника определяют количество ресурсов каждого типа, при которых двойственные оценки остаются прежними. Если при подстановке в систему неравенств (4) хотя бы одно из них становится неверным, то формулируется новая производственная задача, которая решается заново.

Выявим изменение общей стоимости изготовленной продукции, определяемой оптимальным планом при изменении количества ресурсов приуменьшении количества ресурсов I-го типа на 60 единиц и увеличении количества ресурсов II и III-го типов на 120 и 160 единиц.

Количество ресурсов I типа уменьшается на 60 единиц, т.е. , а II и III типа увеличивается соответственно на 120 ед. и 160 ед., т.е. и .

Чтобы выяснить остается ли план оптимальным планом двойственной задачи при указанном изменении количества ресурсов или нет, необходимо проверить удовлетворяют ли данные и системе неравенств (4).

Подставим значения в неравенства:

Так как все неравенства остаются верными, это означает, что двойственные оценки ресурсов не изменяются и останутся . Тогда изменение стоимости готовой продукции составит:

.

Это означает, что уменьшение количества ресурсов I типа на 60 единиц и увеличение количества ресурсов II и III типа соответственно на 120 ед. и 160 ед. приведет к возможности построения такого плана производства продукции, реализация которого обеспечит выпуск изделий на 540 ден. единиц больше, чем при первоначальном количестве ресурсов.

Соответствующий план производства определится следующим образом. Система ограничений, описывающих наше условие производства примет вид:

Так как , то ресурсы II и III-го типов используются полностью, поэтому 2-е и 3-е неравенства обратятся в равенства. Уменьшение количества ресурсов I-го типа на 60 ед. не повлияет на изменение максимального значения целевой функции, в то время как увеличение количества ресурсов II и III-го типов на 120 ед. и 160 ед. приведет к увеличению максимального значения целевой функции соответственно на и ден. единиц.

Таблица 11

Для удобства рассуждений, мы привели симплекс-таблицу, содержащую оптимальное решение прямой задачи (табл.11).

Найдем оптимальный план, при увеличении сырья II вида на 120 единиц. Он приводит к увеличению общей стоимости на 180 ден. ед. ( ), что может быть достигнуто за счет увеличения выпуска изделий вида В на 120 ед. и сокращения выпуска изделий вида А на . Использование сырья I вида увеличится единиц.

Оптимальный план выпуска продукции, при изменении только II-го ресурса, становится .

При одновременном увеличении сырья II и III-го видов соответственно на 120 и 160 ед., приведет к увеличению общей стоимости на 540 ден. ед., что достигается за счет увеличения выпуска продукции вида А на ед., а количество выпуска изделий вида В не меняется, но объем используемого сырья I-го вида уменьшится на .

Оптимальный план выпуска продукции, при одновременном изменении ресурсов II и III-го видов, становится равным .

Уменьшение количества не дефицитного ресурса I-го типа на 60 ед. не повлияет на оптимальный план выпуска продукции.

Рассмотрим возможность дальнейшего совершенствования оптимального ассортимента выпускаемой продукции:

а) добавляя в модель новый вид продукции;

б) включая в план производства предприятия не выгодную продукцию, с точки зрения максимального дохода.

В случае а) введение в модель нового вида продукции эквивалентно добавлению новой переменной прямой задачи. И эта новая переменная войдет в оптимальный план, если издержки на производство этой продукции будут равны нулю. Например: выясним, целесообразно ли выпускать продукцию пятого вида, на единицу которого расходуются ресурсы , и , цена этой продукции .

Сопоставим дополнительные затраты на ресурсы в расчете на единицу продукции П₅ с ценой ее реализации:

.

То есть, приведенные издержки единицы этой продукции равны , поэтому выпуск продукции вида П₅ невыгодно предприятию включать в план производства, а чтобы производство продукции было рентабельным ее цена должна составлять не менее 12 единиц.

В случае б) включение в план производства невыгодной продукции, с точки зрения максимального дохода, возможный объем ее продукции в рамках устойчивости оптимального плана определяется следующим интервалом:

,

где – компонент оптимального плана; – коэффициенты столбцов свободных переменных в оптимальном плане.

Например, в оптимальный план не вошла основная переменная . Определим максимально возможный объем выпуска продукции вида С по приведенной формуле:

,

.

Таким образом, в план производства можно ввести выпуск продукции С до 24 единиц.

Введение в план выпуска единицы продукции вида С приведет к уменьшению максимальной прибыли на величину . Это происходит за счет уменьшения выпуска продукции В на 3 единицы, хотя производство продукции вида А увеличивается на .

Выявим изменение общей стоимости изготовления продукции, определяемой оптимальным планом ее производства при включении в план производства не выгодой продукции вида С в объеме 20 единиц.

; ;

;

;

.

Проверим прибыль от реализации, произведенной продукции:

.

Экономико–математическая модель