Пример 5

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1570

Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

Для неравенства равносильны следующие преобразования:

1) Слагаемые можно переносить из части в часть со сменой знака.

2) Обе части неравенства можно умножить на положительное число.

3) Если обе части неравенства умножить на отрицательное число, то необходимо сменить знак самого неравенства (если было «больше», то станет «меньше»; если было «меньше либо равно», то станет «больше либо равно»).

В неравенстве перенесём «тройку» в правую часть со сменой знака (правило №1):

Умножим обе части неравенства на –1 (правило №3):

Умножим обе части неравенства на (правило №2):

Ответ: область определения:

Ответ также можно записать эквивалентной фразой: «функция определена при ».

Геометрически область определения изображается штриховкой соответствующих интервалов на оси абсцисс. В данном случае:

Пример 6. Найти область определения функции

Решение: подкоренное выражение должно быть строго положительным, то есть нам необходимо решить неравенство . На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положителен, ищем корни:

Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).

Поскольку коэффициент , то ветви параболы смотрят вверх. Из вышесказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветки параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству :

Обратите внимание, что сами точки выколоты (не входят в решение), поскольку неравенство строгое.

Ответ: область определения:

Может ли функция с квадратным корнем быть определена на всей числовой прямой? Конечно. Например, . Или аналогичная сумма с экспонентой: . Действительно, для любых значения «икс» и «ка»: , поэтому и .

А вот менее очевидный пример: . Здесь дискриминант отрицателен (парабола не пересекает ось абсцисс), при этом ветви параболы направлены вверх, следовательно, и область определения: .

Вопрос противоположный: может ли область определения функции быть пустой?

Да, и сразу напрашивается примитивный пример , где подкоренное выражение отрицательно при любом значении «икс», и область определения: (значок пустого множества). Такая функция не определена вообще (разумеется, график тоже иллюзорен).

С нечётными корнями и т.д. всё обстоит гораздо лучше – тут подкоренное выражение может быть и отрицательным.

Например, функция определена на всей числовой прямой. Однако у функции единственная точка всё же не входит в область определения, поскольку обращают знаменатель в ноль. По той же причине для функции исключаются точки .