|
|||||
Нахождение площадей фигурДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1676
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . Определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Пример 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ): О какой площади идет речь, очевидно. Решение продолжается так: На отрезке график функции расположен над осью , поэтому: Ответ: После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. Пример 2.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями. Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: В данном случае: Ответ: Внимание! Не следует путать два типа задач: 1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным. 2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус. Пример 3.Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать решив уравнение или построив линии поточечно. Решим уравнение: Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования . Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж: А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле: Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ. В рассматриваемом примере, очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу. На отрезке , по соответствующей формуле: Ответ: Пример 4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , Решение: Сначала выполним чертеж: Фигура, площадь которой нам нужно найти, представлена крупной штриховкой(внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно: 1) На отрезке над осью расположен график прямой ; 2) На отрезке над осью расположен график гиперболы . Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому: Ответ: Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Представим уравнения в явном виде , и выполним поточечный чертеж: Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: . Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график? В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически. Найдем точки пересечения прямой и параболы . Для этого решаем уравнение: , Действительно, . На отрезке , по соответствующей формуле: Ответ: Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже. С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение: На отрезке график функции расположен над осью , поэтому: Используем основное тригонометрическое тождество в виде Проведем замену переменной , тогда: Новые пределы интегрирования: (4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла , расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке Ответ: |
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.054 сек.) |