Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1800

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит:

1) независимую переменную ;

2) зависимую переменную (функцию);

3) первую производную функции: .

В некоторых уравнениях 1-го порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это не существенно – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – , и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций часто имеет вид
( – произвольная постоянная), который называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1Решить дифференциальное уравнение

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде: .

Итак:

На втором шаге смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы».

Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы и – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:

Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу достаточно записать один раз (т.к. константа + константа всё равно равна другой константе). В большинстве случаев её помещают в правую часть.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым.

Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

То есть, – это общий интеграл.

Ответ в такой форме вполне приемлем, но нет ли варианта получше? Давайте попытаемся получить общее решение.

Запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу во многих случаях (но далеко не всегда!) тоже целесообразно записать под логарифмом.

То есть, ВМЕСТО записи обычно пишут .

Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем свойство логарифмов .

В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Ответ: общее решение: .

Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение и дифференцируем его:

После чего подставляем и производную в исходное уравнение

:

– получено верное равенство, значит, общее решение удовлетворяет уравнению , что и требовалось проверить.

Придавая константе различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.

Ясно, что любая из функций , , и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Пример 2.Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Решение: по условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданному начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константа представлена с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем, что .

В данном случае:

Если – это константа, то – тоже некоторая константа, переообозначим её буквой :

«Снос» константы – это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: , это симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:

То есть,

Теперь в общее решение подставляем найденное значение константы :

– это и есть нужное нам частное решение.

Ответ: частное решение:

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа:

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:
– да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение и находим производную:

Подставляем и в исходное уравнение :

– получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Пример 3.Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств максимально «упаковываем» логарифмы.

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части.

Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться просто ужасно – с большими корнями, знаками и прочими элементами.

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить его в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу.

Ответ: общий интеграл:

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производную от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4.Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку они положительны, то знаки модуля излишни:

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию .

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :

.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение: – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал :

Подставим найденное частное решение и полученный дифференциал в исходное уравнение :

Используем основное логарифмическое тождество :

Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Пример 5.Решить дифференциальное уравнение . Выполнить проверку.

Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

Интегрируем:

Константу тут не обязательно определять под логарифм.

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем ответ (неявную функцию):

Избавляемся от дробей, для этого умножаем оба слагаемых на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.

Использованные источники:

1. http://mathprofi.ru/

2. http://www.webmath.ru/

Вопросы для подготовки к зачёту

1. Функция и ее способы задания. Элементарные и неэлементарные функции.

2. Числовая последовательность и ее предел.

3. Предел функции. Свойства пределов.

4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых.

5. Виды неопределенности и способы раскрывания неопределенностей. Замечательные пределы.

6. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

7. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Классификация точек разрыва.

8. Производная, ее геометрический, физический и экономический смысл.

9. Основные правила дифференцирования. Уравнение касательной к графику функции.

10. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Ферма, теорема Ролля.

11. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Лагранжа, теорема Коши.

12. Правило Лопиталя. Дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям. Производные и дифференциалы высших порядков.

13. Необходимое и достаточные условия экстремума функции одной переменной.

14. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции. Асимптоты.

15. Общая схема исследования функции одной переменной.

16. Разложение функции одной переменной в ряды Тейлора и Маклорена.

17. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

18. Метод замены переменной и формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

19. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл.

20. Свойства определенного интеграла.

21. Формула Ньютона-Лейбница. Определенное интегрирование заменой переменной и по частям.

22. Приложения определенного интеграла к решению геометрических задач.

23. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.

24. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные определения и теоремы.

25. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Список рекомендуемой литературы

Основные источники:

1. Богомолов В.Н., Самойленко П.И. МАТЕМАТИКА 5-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров. - М.: Юрайт, 2013

2. Шипачев В.С. Высшая математика. Базовый курс: Учебное пособие для бакалавров / В. С. Шипачев ; Под ред. А.Н.Тихонова. - 8-е изд., перераб.и доп.- М. : Юрайт,2012. - 447с. - 246,18.

3. Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2013.- 544 с.: 60x90 1/16. - (Профессиональное образование). (переплет) ISBN 978-5-91134-460-3, 2000 экз. ЭБС ZNANIUM.

Дополнительные источники:

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. – М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011.

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. М.: Высшая школа, 2009.

3. Подольский В.А.и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М: Высшая школа, 2006.

4. Пехлецкий И.Д. Математика. М: Мастерство, 2002.

5. Кравцова В.И. Курс классической математики в примерах и задачах. В трех томах. Том 1. Гриф МО РФ. Физматлит, 2008. 672 с.

6. Высшая математика для экономистов. / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2007.

7. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1. Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. - -6-е изд. - М.: ООО «Издательство Оникс», ООО «Издательство «Мир и Образование», 2009