Основні етапи математичного моделювання

Дата добавления: 2014-10-02 | Просмотров: 1519

·З навколишнього середовища виділяємо групу об’єктів (популяція або екосистема) яка є відносно самостійною.

·Визначають основні параметри екосистеми: біомаса, продуктивність, потік речовини, потік енергії.

·Кожному параметру ставиться у відповідність кількісна величина (x, y,…). Цей процес називається математичною формалізацією об’єкта.

·Між елементами системи необхідно встановити зв’язки. Для цього використовують методи математичної статистики, підбір математичних формул, побудова рівнянь зв’язку.

Процес математичного моделювання носить циклічний характер і включає наступні кроки:

1. Постановка задачі;
2. Побудова математичної моделі;
3. На основі моделі будується прогноз для реальної системи;
4. Прогноз звіряється з біжучою інформацією про екосистему та її оточення;
5. Корекція і уточнення моделі. Перехід до п.3

1. Випадкова величина та її числові характеристики.

На практиці часто доводиться мати справу з величинами, які набувають певних, заздалегідь не передбачуваних, значень. Такі величини називають випадковими (кількість опадів, оцінка студента). Якщо випадкова величина (ВВ) має скінченну кількість можливих значень x₁, x₂, … , x_m то її називають дискретною ВВ (оцінка). В іншому разі маємо неперервну ВВ (швидкість руху).

Сукупність усіх можливих значень дискретної випадкової величини називається генеральною сукупністю. Генеральну сукупність обробляти важко, або ж неможливо, в силу її великого обсягу. Тому на практиці генеральну вибірку заміняють меншим обсягом випадково вибраних з неї даних. Результати обмеженого ряду спостережень x₁, x₂, … , x_n випадкової величини називається вибіркою з генеральної сукупності. Вибірка повинна об’єктивно представляти генеральну сукупність, тобто бути репрезентативною. Для цього: а) вона повинна бути випадковою; б) вона повинна представляти всі частини генеральної сукупності.

Найважливішою характеристикою ВВ є закон розподілу, який встановлює відповідність між кожним можливим значенням дискретної ВВ x₁, x₂, … , x_m та частотою її появи p₁, p₂, … , p_m. Графічно емпіричний закон розподілу представляєься у вигляді гістограми частот.

Для кількісної характеристики закону розподілу неперервної ВВ вводять поняття функції розподілу як ймовірності того, що випадкова величина набуває значень, менших від деякого числа

(1)

Іншою характеристикою випадкової величини є щільність розподілу ймовірності її появи

(2)

Найбільш поширеним законом розподілу неперервних ВВ є нормальний закон розподілу. Графічним зображенням його щільності розподілу є симетрична дзвоноподібна крива (крива Ґаусса) (рис.1). У багатьох практичних випадках немає необхідності характеризувати випадкову величину повністю. Достатньо лише казати найбільш важливі числові параметри, які описують випадкову величину та її закон розподілу.

Основними числовими характеристиками нормального закону розподілу є математичне сподівання , дисперсія та середнє квадратичне відхилення . Математичне сподівання відповідає значенню ВВ, яке спостерігається найчастіше. На практиці його замінюють середнім статистичним значенням вибірки . Середнє квадратичне відхилення характеризує міру розсіювання ВВ навколо середнього значення. Для нормального розподілу справедливе правило “3-х сігм”: в інтервал попадає 99.7% всіх значень ВВ. 95.4% випадкової величини x зосереджено в інтервалі . 68.3% випадкової величини x зосереджено в інтервалі .

Рис.1. Щільність нормального закону розподілу ВВ

Основні числові характеристики вибірки розраховують наступним чином:

Середнє вибіркове значення величини x визначаємо за формулою

. (3)

Дисперсія характеризує розсіяння ВВ навколо середнього значення

. (4)

При малих об’ємах вибірки (до тридцяти значень x) використовують виправлену дисперсію

Середнє квадратичне відхилення є більш зручною характеристикою розсіяння ВВ, оскільки його розмірність співпадає з розмірністю ВВ

. (5)

1. Кореляційний аналіз випадкових величин

Розглянемо дві випадкові величини і , задані таблицею. Необхідно визначити, чи існує зв’язок між цими величинами, тобто, чи впливає величина на величину . Для початку побудуємо точковий графік розташування точок з координатами на площині – поле розсіювання. Характер розташування точок може дати наглядне уявлення про вид формули, яка зв’язує досліджувані величини і тісноту зв’язку між ними. Найбільш тісним зв’язком є функціональний (всі точки лягають на одну лінію). При відсутності зв’язку точки рівномірно розсіюються по координатній площині (Рис. 2).

Рис.2. (зліва) лінійний зв’зок величин X i Y; (по центру) нелінійний зв’зок величин X i Y; (справа) зв’язок між X i Y відсутній.

Для оцінки сили зв’язку між випадковими величинами і використовують коваріацію

. (6)

Більш точною оцінкою сили зв’язку величин і є коефіцієнт кореляції

. (7)

Відмітимо деякі властивості коефіцієнта кореляції r.

1. –1 £ r £ 1;

2. Якщо êr ê=1, зв’язок між X i Y є функціональним. Якщо êr ê® 0, зв’язок відсутній; при - зв’язок слабкий; при зв’язок помірний; при - зв’язок помірний; при зв’язок щільний; при зв’язок функціональний. Розглянута класифікація носить назву шкала Чеддока.

3. Якщо r > 0, це означає, що функція y = f(x) є зростаючою. Якщо r < 0, це означає, що функція y = f(x) є спадною.

1. Принцип найменших квадратів.Лінійна регресія.

Процес побудови емпіричних формул складається з двох етапів: встановлення загального виду цієї формули і визначення найкращих її параметрів. Поле розсіяння візуально підказує вигляд графіка функції. Найчастішу підбирають найпростіші функції: лінійну, квадратичну, логарифмічну.

Найточніші значення коефіцієнтів емпіричної формули визначають методом найменших квадратів (Гаусс, Лежандр).

Принцип Лежандра. Сума квадратів відхилень (нев’язок) емпіричної функції y = f(x_i) від експериментальних значень y_i повинна бути мінімальною

. ( 8 )

y = ax + b , ( 9 )

де коефіцієнти a та b – невідомі. Згідно з принципом Лежандра

. (10 )

Умовою мінімуму функції S(a,b) є умова: . Звідси отримуємо систему двох лінійних алгебричних рівнянь відносно невідомих a i b.

( 11 )