Задача № 1. (невзаємодіюча ізольована популяція).

Дата добавления: 2014-10-02 | Просмотров: 1530

Нехай деяка популяція (сукупність організмів одного виду) в момент часу має біомасу (кількість осіб ). Як відомо, швидкість приросту біомаси пропорційна до наявної біомаси. Якщо для розмноження популяції створені сприятливі умови і відсутні лімітуючі фактори, кількість популяції описується рівнянням Мальтуса (1802)

( 1 )

Тут r – коефіцієнт швидкості розмноження

( 2 )

(a – народжуваність, b – смертність). Розв’язком рівняння Мальтуса є експонента

. ( 3 )

Експоненціальний закон розвитку добре описує розмноження колоній деяких бактерій при достатній кількості їжі. Проте такі сприятливі умови не можуть існувати довго через вплив навколишнього середовища. Із зростанням чисельності виду зростає внутрівидова конкуренція особин (явище самоотруєння популяції). Це приводить до зменшення швидкості зростання популяції пропорційно квадрату наявної біомаси. Рівняння, що описує процес зміни біомаси з часом набирає вигляду:

( 4 )

Розв’язком рівняння ( 4 ) є логістична функція, графік якої має вигляд:

Логістичне рівняння вперше запропонував Ферхюльст (1838). Його властивості:

1. При малій чисельності популяції зростання відбувається за експоненціальним законом.

2. З часом чисельність популяції асимптотично наближається до деякого постійного числа x_max – ємності середовища.

4.Модель “хижак - жертва”

Розглянемо детальніше двохвидову модель “хижак – жертва”, яка вперше була побудована італійським математиком Діно Вольтерра для пояснення коливань рибних уловів в Адріатичному морі, що носили циклічний характер.

Задача 2. У замкненій водоймі існує два типи риб: великі риби-хижаки і менші риби-фітофаги, які служать джерелом корму для хижаків. Риби-фітофаги харчуються водорослями, кількість яких вважається необмеженою. Позначимо x₁ – кількість хижаків, x₂ – кількість жертв (риб-фітофагів). Необхідно дослідити динаміку зміни чисельності обох популяцій. Кількість риб – хижаків буде зростати доти, поки буде достатньо їжі. Коли ж кількість малих риб стане малою, кількість великих риб також почне падати. Це приведе до того, що з деякого часу кількість малих риб знову почне зростати. Цим пояснюється циклічний характер коливань кількості великих і малих риб. Модель побудована Вольтерра, має вигляд:

( 5 )

тут - деякі додатні коефіцієнти.

Доданок - виражає зменшення кількості хижаків внаслідок внутрівидової конкуренції;

- збільшення кількості хижаків пропорційно їх кількості і в залежності від числа жертв;

- розмноження жертв пропорційне їх кількості (кількість корму вважається необмеженою);

- зменшення кількості жертв в залежності від кількості хижаків і внаслідок внутрівидової конкуренції.

Система ( 5 ) допускає як аналітичний, так і чисельний розв’язок. При чисельному розв’язуванні задачі слід використовувати удосконалений метод Ейлера (точність звичайного методу Ейлера є недостатньою). Типовий графік залежності від часу, побудований за результатами розрахунків, має вигляд:

Розглянемо площину , координатами якої виступають основні параматри моделі і . Дана площина називається фазовою площиною. Графік залежності називається фазовою траєкторією системи. Якщо зобразити залежність на фазовій площині, то отримаємо замкнену фазову траєкторію – фазовий портрет моделі. Всі можливі фазові траєкторії даної системи, які відповідають різним початковим значенням параметрів і охоплюють точку, яка називається стаціонарною. Стаціонарна точка відповідає стану рівноваги системи. Стаціонарна точка процесу має наступні координати x_1c=C/D; x_2c=A/B. Якщо вибирати стартові значення чисельності популяцій якомога ближчими до координат стаціонарної точки, фазова траєкторія буде вироджуватися в точку, тобто чисельності популяцій не змінюватимуться. Таким чином ця точка – це є своєрідна точка динамічної рівноваги для системи “хижак - жертва”.