 |
Метод Ейлера
Дата добавления: 2014-10-02 | Просмотров: 1520
|
|
Обчислимо iнтеграл у правiй частинi (5) за формулою лiвих прямокутникiв
(6)
Отримали розрахункову формулу Ейлера. Її похибка 
= yk-y(xk)~ h2. Тут yk - наближене значення функцiї, y(xk)-точне значення. Рiвняння дотичної до графiка функцiї y(x) в точцi xk має вигляд
(7)
Врахуємо, що згiдно(2) y’k=f(xk,yk). Отже формула (6) є рiвнянням дотичної, а це означає, що iнтегральна крива замiнюється вiдрiзком дотичної до неї в точцi (xk,yk). Сукупнiсть цих вiдрiзкiв утворює ламану Ейлера (верхня лінія на Рис.1).
Рис.1. Наближене розв’язування звичайного дифрівняння методом Ейлера. Нижня лінія відповідає точному розв’язку, верхня – розв’язку за методом Ейлера.
Приклад. y’=2x+1. y(0)=1; h=0.1.
Точнiсть методу досить мала (перший порядок точностi) i з переходом вiд x0 до xn похибка систематично зростає. Розрахунки зручно вести у формi наступної таблицi.
| n | xn | yn | f(xn,yn) | yn+1 |
| 0.00 | 1.00 | 1.00 | 1.10 | |
| 0.10 | 1.10 | 1.20 | 1.22 | |
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| 1.00 | 2.90 | 3.00 | 3.20 |
9. Удосконалений метод Ейлера
Якщо iнтеграл у правiй частинi формули (5) обчислити за формулою середнiх прямокутникiв, тобто значення функцiї f(x,y) обчислювати в точцi 
, то знайдемо
.(8)
Обчислимо значення y(xk+1/2) за формулою Ейлера (6)
.