Преобразование координат

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1756

Использование нескольких систем координат вызвано тем, что решение конкретных задач удобнее производить в «своей» системе. При этом возникает необходимость перевести результаты или исходные данные в другую систему координат.

Перевод координат из системы в систему называется преобразованием.

Формулы связи между первой, второй экваториальными системами и горизонтальной системой координат рассматривается в курсе астрономии. Кроме того, в этом курсе рассматривается связь между перечисленными астрономическими координатами и координатами точки на земной поверхности – астрономической широтой φ и астрономической долготой λ. Связь между астрономическими и эллипсоидальными широтами, долготами и азимутами осуществляется через значения составляющих уклонения отвесной линии.

Если известны (измерены) координаты небесного тела, например, ИСЗ во второй экваториальной системе координат (α и δ) известен радиус-вектор r, то прямоугольные инерциальные геоцентрические координаты объекта будут:

Обратный переход осуществляется по формулам

Если известны (измерены) координаты ИСЗ во второй экваториальной системе координат (α’ и δ’) и известен радиус вектор ρ, то прямоугольные инерциальные топоцентрические координаты объекта будут:

Обратный переход осуществляется по формулам

Мы установили, что геодезические прямоугольные системы координат, земная и инерциальная, вращаются относительно друг – друга вокруг осей z и Z, делая один оборот за одни звёздные сутки.

Угол разворота по своей сути есть гринвичское звёздное время S, приведённое на эпоху 1900-1905 гг. Поэтому связь гринвичской и инерциальной систем координат можно описать в виде матричного выражения:

(1)

При решении динамических задач космической геодезии возникает необходимость преобразовать не только координаты, но скорости. Скорость - первая производная изменения координат. В инерциальной СК составляющие скорости по осям координат выглядят:

Для составляющих скорости в гринвичской СК будем иметь:

Продифференцируем матрицу связи S и умножим её на скорость вращения Земли ω_З:

Угловая скорость вращения Земли считается постоянной и равной:

ω_З = 0.729211508 · 10^-4 рад/с

Для решения задачи преобразования вводится вектор q, составленный из инерциальных координат ИСЗ и составляющих его скорости. В транспонированном виде он выглядит:

Такой же вектор, но в гринвичской СК выглядит:

Соответственно, прямой и обратный переходы в матричном виде будут выглядеть так:

Матрица преобразования G с учётом вышеизложенного:

Обратная матрица получается транспонированием подматриц:

Рассмотрим общие формулы преобразования координат (рис. 17). Смещение начала координат учитывается формулами:

Рис. 17 Смещение начала координат и разворот

В матричном виде

Для учёта разворота системы координат введём углы разворота системы относительно осей другой системы, называемые углами Эйлера:

α - вокруг оси Z

β - вокруг оси Y

γ - вокруг оси X

Преобразование будет производиться в соответствии с матричным уравнением:

Направляющие косинусы матрицы поворота (вращения) будут: