Законы движения ИСЗ

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1687

Для описания законов движения ИСЗ необходимо предварительно наложить условия:

- масса спутника m в сравнении с массой Земли М пренебрежительно мала; спутник практически не притягивает Землю;

- Земля принимается за шар со сферическим распределением плотности, то есть центр масс Земли совпадает с её геометрическим центром, уклонение отвесных линий совпадают с нормалями и поверхности сферы;

- система «Земля-ИСЗ» не расходует энергию и не получаете извне.

Зададимся инерциальной системой координат (рис. 18)

Рис. 18 Взаимное расположение Земля-спутник

Движение спутника по орбите подчиняется трём законам Кеплера.

Первый закон Кеплера гласит о том, что орбита ИСЗ представляет собой эллипс. Скаляр r радиуса-вектора есть:

Здесь: - p – параметр орбиты;

- e – эксцентриситет эллипса;

- a– большая полуось эллипса;

- v– угол между большой полуосью и радиус-вектором.

Эксцентриситет е получается по формуле

,

где b– малая полуось

Центр масс Земли находится в одном из фокусов эллипса (рис. 19)

Рис. 19 Эллиптическая орбита

При равенстве aи b, eстановится равной нулю, орбита становится круговой.

Второй закон Кеплера гласит, что радиус-вектор спутника за равные промежутки

времени описывает равные площади. Другими словами, секториальная скорость спутника есть величина постоянная:

Третий закон Кеплера. Квадраты периодов Т обращения двух спутников относительно центра масс Земли относятся как кубы больших полуосей их орбит.

.

Период обращения спутника вокруг Земли

.

Здесь: - f – гравитационная постоянная;

- М – масса Земли.

Величина fМ = μ =398600.5 км³с^-2 и называется геоцентрической гравитационной постоянной. Для более точных вычислений учитывается и масса спутника. Тогда:

,

где m – масса спутника. Скорость спутника будет

Согласно последней формулы и второго закона Кеплера, скорость спутника в точке 1 на рисунке 2 больше скорости в точке 2.

Введём понятие единичного вектора:

На спутник, согласно закона Ньютона, действует сила тяготения:

Умножив правую часть выражения на единичный вектор, получим вектор силы тяготения:

Введём понятие вектора скорости и вектора ускорения :

В соответствии со втором законом Ньютона получается:

И окончательно:

Следует, что:

Получаем дифференциальное уравнение движения спутника m в поле тяготения Земли М в векторной форме:

Проецируя положение спутника на оси геоцентрической прямоугольной системы координат, получаем систему уравнений:

Вторые производные координат в механике обозначаются . Тогда система уравнений выглядит:

Эти системы уравнений определяют невозмущённое идеальное движение ИСЗ. То есть модель движения ИСЗ. Для решения этих дифференциальных уравнений необходимо выполнить шестикратное интегрирование.