|
|||||
Исследование функций и построение графиков функцийДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1633
Одна из возможных схем исследования функции и построения ее графика включает следующие этапы решения задачи:
1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 3. Определить четность, нечетность. 4. Найти точки разрыва функции и асимптоты графика функции. 5. Исследовать функцию на экстремум, найти интервалы монотонности функции, точки максимума и минимума. 6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба. 7. Построить график функции.
Пример С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции . Решение 1. Область определения функции находится из условия: , т.е. . 2. Точки пересечения графика функции с осями координат: с осью Оу, , точка , с осью Ох, , точка . 3. Четность, нечетность. Функция называется четной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Функция называется нечетной, если для любого х из области определения справедливо равенство . Если не выполнено ни одно из равенств, то функцию называют функцией общего вида. В нашем случае, , следовательно, функция нечетная, а ее график симметричен относительно начала координат. 4. Точки разрыва функции и асимптоты графика функции. 1) Вертикальные асимптоты. Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов или равен или . Таким образом, для нахождения вертикальных асимптот следует найти все точки разрыва 2-го рода данной функции. Если точек разрыва нет, то нет и вертикальных асимптот. Заданная функция имеет две точки разрыва второго рода и , так как , , , , следовательно, график функции имеет две вертикальных асимптоты и . 2) Горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной асимптоты, когда . Чтобы найти горизонтальные асимптоты графика функции, нужно найти пределы: . Если эти пределы конечны и различны, то прямые будут горизонтальными асимптотами. Если какой-либо из этих пределов не существует или равен , то не существуют и соответствующие асимптоты. Так как , то график функции имеет горизонтальную асимптоту .
3) Наклонные асимптоты. Пусть прямая является асимптотой графика функции . Такую асимптоту называют наклонной. Для того, чтобы график функции имел при наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела: . Аналогично находится асимптота при . Так как , то наклонных асимптот нет.
5. Исследование функции на экстремум. Для определения интервалов возрастания и убывания функции и ее точек экстремума найдем первую производную: . Найдем критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует, для чего приравниваем числитель к нулю: , т.е. вещественных корней нет, следовательно, точек экстремума нет. Так как производная отрицательна во всей области определения функции, то она всюду убывает в этой области. _ _ _ х -6 6 у
6. Исследование на выпуклость, вогнутость. Точки перегиба. Вычислим производную второго порядка: Необходимое условие точки перегиба: или не существует. Равенство выполняется при , следовательно, эта точка является «подозрительной» на точку перегиба. Определим знак второй производной на всей числовой оси и укажем на ней интервалы выпуклости и вогнутости функции.
_ + _ + х -6 0 6 у Так как при переходе через точку вторая производная меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба. Итак, точка перегиба имеет координаты .
7. Построение графика функции.
|
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.049 сек.) |