 |
Задачи повышенной трудности
Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1575
|
|
1. Пусть а × а = е для любого элемента а мультипликативной группы G. Докажите, что группа G является абелевой.
2. Докажите, что если элемент а перестановочен с элементами b и с этого кольца, то он перестановочен и с элементами b + с, bс.
3. Докажите, что в кольце с единицей коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца.
Тема 11. Натуральные числа. Метод математической индукции
N – множество натуральных чисел, называется также натуральным рядом.
1 – единица – элемент множества N; +, 
- бинарные операции в N.
Аксиомы теории натуральных чисел.
№1. 1 Î N Ù ("a)("b) (a + b ¹1).
№2. (("a)($b) (b = a + 1)) Ù ("c) (c = a + 1 ® c = b).
№3. ("a)("b) (a + 1 = b + 1 ® a = b).
№4. ("a)("b) (a + (b + 1) = (a + b) + 1).
№5. ("a) (a × 1 = a).
№6. ("a)("b) (a (b + 1) = ab + a).
№7. Пусть M Ì N, 1 Î M, ("a) (a Î M ® a + 1 Î M). Тогда M = N.
Метод математической индукции заключается в следующем:
Пусть U(n) – некоторое утверждение сформулированное для всех натуральных чисел. Если U(1) – справедливо (база индукции) и из предположения, что U(n) – справедливо (индуктивное предположение) следует справедливость U(n+1) (индуктивный переход), то утверждение U(n) считается доказанным.
Ортодоксальность метода легко доказывается с помощью аксиомы индукции (№7).
В некоторых случаях может быть иной база индукции: справедливость U(n0), n0>1; и иным индуктивное предположение: предполагается справедливость утверждения для всех натуральных чисел, не превосходящих (или меньших) n.