|
||||||||||||||||||||
Практические заданияДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1584
1. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, c справедливы утверждения:
2. Докажите, что . 3. Докажите, что . 4. Докажите равенство . 5. Докажите равенство . 6. Докажите равенство . 7. Докажите равенство . 8. Докажите равенство . 9. Докажите, что делится на 19 при любом натуральном n. 10. Последовательность составляется по следующему закону: первые два числа даны; каждое же . Докажите, что . 11. Докажите справедливость равенств:
12. Докажите, что для всех натуральных n справедливы утверждения:
13. Дано: . Докажите, что , n Î N. 14. Дано: , . Докажите, что , n Î N. 15. Дано: . Докажите, что , n Î N. 16. Докажите неравенства:
17. Докажите, что n прямых лежащих в одной плоскости и имеющих общую точку, делят плоскость на 2n частей. 18. Докажите, что n плоскостей, из которых каждые три пересекаются, и никакие четыре не имеют общей точки, разбивают пространство на частей. 19. Докажите, что n окружностей, проведенных в одной плоскости так, что каждые две из них пересекаются в двух точках, и никакие три не имеют общей точки, разбивают плоскость на частей. 20. Докажите, что сторона правильного многоугольника, имеющего сторон, выражается через радиус R описанной около него окружности формулой . 21. Докажите, что если , , то . 22. Докажите неравенство
23. Докажите, что 24. Числа последовательности определяются следующими условиями . Докажите, что . 25. Пусть члены последовательности связаны зависимостью . Докажите, что если , то . 26. Докажите тождество: . 27. Последовательность Фибоначчи определяется условиями: . Докажите следующие соотношения:
28. Последовательность задана условием: . Докажите, что для всех n Î N имеет место неравенство . 29. Найдите ошибки в следующих рассуждениях: а) Всякое натуральное число равно следующему за ним натуральному числу. В самом деле, предположим, что k = k + 1 (I) и докажем, что k + 1 = k + 2 (II). Прибавляя к каждой части равенства (I) по единице, мы получим равенство (II). Мы показали, что если утверждение справедливо для n = k, то оно справедливо и для n = k + 1. Утверждение доказано. б) При любом натуральном n справедливо неравенство . В самом деле, допустим, что неравенство справедливо при n = k, т.е. (I) и докажем, что оно справедливо для n = k + 1. Ясно, что (II) при любом натуральном k. Складывая неравенства (I) и (II), получаем , т.е. , чем утверждение доказано. 30. Докажите, что . 31. Докажите, что при любом натуральном n > 1 справедливо неравенство .
Самостоятельная работа
1. Докажите, что . 2. Дано . Докажите, что . 3. Дано . Докажите, что . 4. Докажите неравенства:
5. Докажите формулу: 6. Докажите, что если a > b > 0, то 7. Докажите, что если a > 0, b > 0, то 8. Докажите, что 9. Числа последовательности определяются следующими условиями . Докажите, что . 10. Пары чисел образуются по закону . Докажите, что 11. Докажите тождества:
12. Последовательность Фибоначчи определяется условиями: . Докажите следующие соотношения:
13. Последовательность задана условием: . Докажите, что для всех n Î N имеет место неравенство . 14. Докажите, что для всех n Î N справедливы следующие неравенства: а) ; б) ; в) . 15. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Если на свете есть хотя бы один блондин, то все люди блондины. В самом деле, для n = 1 утверждение справедливо, так как по условию есть блондин. Допустим, что любая группа численностью не превышающей k человек состоит из одних блондинов. Рассмотрим теперь произвольную группу из k + 1 человек. Разобьем ее на две произвольные части численностью a и b человек в каждой. Ясно, что a £ k и b £ k. На эти группы распространяется индуктивное предположение. Следовательно, в каждой из них – одни блондины. Поэтому рассматриваемая группа состоит из одних блондинов. Итак, утверждение справедливо для n = 1; из предположения о справедливости для n £ k следует справедливость его для n = k + 1. Утверждение доказано. 16. Докажите тождество . 17. На сколько частей делят плоскость n прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке? 18. Докажите: где a > -1, a ¹ 0, n – натуральное число, большее единицы. 19. Докажите, что при всяком натуральном n число делится на 84. 20. Докажите, что . 21. Докажите, что справедливо для всех натуральных n. 22. Найдите ошибку в следующем рассуждении: Все числа равны между собой. В самом деле, при n = 1 утверждение справедливо: число равно самому себе. Допустим, что утверждение справедливо для n = k, то есть любые k чисел равны между собой. Рассмотрим теперь произвольное множество из k + 1 чисел. Перенумеруем все эти числа номерами 1, 2, …, k + 1. Первые k чисел равны между собой и поэтому равны первому числу. Исключим второе число. Тогда оставшиеся k чисел, среди которых есть и (k + 1)-е число, равны друг другу и равны первому числу. Утверждение, таким образом, справедливо и для n = k + 1. Итак, утверждение справедливо для n = 1 и из предположения о его справедливости для n = k выведена его справедливость для n = k + 1. Утверждение доказано.
|
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.05 сек.) |