|
|||||
Извлечение корней из комплексных чиселДата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 1695
z = r (cosj + isinj), где r > 0, j Î [0;2p] называется тригонометрической формой комплексного числа. Известно, что любое комплексное число, отличное от 0, имеет единственную тригонометрическую форму. Нуль тригонометрической формы не имеет. Если z = r (cosj + isinj), где r > 0 и j Î [0;2p], то r = | z |, j = arg z. Легко представить в тригонометрической форме комплексные числа a, bi. Именно: если a > 0, то a = a(cos0 + isin0); если a < 0, то a = (-a)(cosp + isinp); если b> 0, то bi = b(cos + isin ); если b < 0, то bi = (-b)(cos + isin ). Этот вывод полезно иллюстрировать следующими рисунками:
Как видим, в этих случаях не требуется никаких вычислений. Пусть теперь a ¹ 0, b ¹ 0. Обозначим Если a > 0, b > 0, то z = | z|(cosq + isinq); если a < 0, b > 0, то z = | z|(cos(p - q) + isin(p - q)); если a < 0, b < 0, то z = | z|(cos(p + q) + isin(p + q)); если a > 0, b < 0, то z = | z|(cos(2p - q) + isin(2p - q)). Снова обратимся к иллюстрациям:
Если z1, z2 представлены в тригонометрической форме, то , .
Формула Муавра:
Комплексное число w, удовлетворяющее условию , называется корнем n-ой степени из числа z. Если z ¹ 0 и n Î N, n > 1, то (где - арифметический корень n-ой степени, j - аргумент комплексного числа z) все корни n-ой степени из числа z. В частности, . Извлечь из комплексного числа квадратный корень можно, не представляя данное число в тригонометрической форме. Формулы, по которым вычисляются эти корни, трудны для запоминания, поэтому лучше понять метод вычисления корней. Пусть z = a + bi и w - его квадратный корень, w = x + iy. Тогда w 2 = x2 – y2 + 2xyi = z. Отсюда Решив эту систему мы найдем оба квадратных корня из числа z. |
При использовании материала ссылка на сайт Конспекта.Нет обязательна! (0.052 сек.) |