Самостоятельная работа

Дата добавления: 2014-11-24 | Просмотров: 565

1. Для любых множеств А, В и С докажите, что:

а) существует инъективное отображение А ´ В на В ´ А;

б) существует инъективное отображение (А ´ В) ´ С на А ´ (В ´ С).

2. Пусть f – отображение А на А. Докажите, что если = i_A, то f является инъективным отображением множества А на А.

3. Пусть f – отображение из множества А в В. Покажите, что если C, D Ì B и C Ç D = Æ, то = Æ.

4. Докажите, что для любой функции f выполняются соотношения:

а) ; б) ;

в) ; г) .

5. Докажите, что если A Ì Dom f и B Ì Im f, то

а) ;

б) .

6. Докажите, что f (A) \ f (B) Ì f (A \ B) для каждой функции f и любых множеств А и В. Если f – инъективная функция, то f (A) \ f (B) = f (A \ B) для любых множеств А и В.

7. Пусть f - отображение множества А в B и g – отображение B в С. Докажите, что:

а) если отображение инъективно, то и f – инъективно;

б) если есть отображение А на С, то g – отображение В на С.

8. Докажите, что отображение f : A ® B является инъективным отображением множества А на В тогда и только тогда, когда существует отображение g: B ® A такое, что = i_A и = i_В.

9. Докажите, что бинарное отношение R Ì A ´ B является инъективным отображением множества А на В тогда и только тогда, когда = i_В и = i_A.

10. Докажите, что функция f удовлетворяет условию f (A Ç B) = f (A) Ç f (B) для любых множеств А и В тогда и только тогда, когда функция f инъективна.